Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – sprawdzian NE

Ujemny wykładnik odwraca podstawę potęgi: \(a^{-n}=\frac1{a^n}\). W funkcji \(f\) mamy podstawę \(\frac15\), a w \(g\) pierwiastek z pięciu.

Najpierw liczymy osobno licznik i mianownik, dopiero potem wykonujemy dzielenie.

Zamieniamy pierwiastki i odwrotności na potęgi o wspólnej podstawie 5.

Przy mnożeniu potęg o jednakowej podstawie dodajemy wykładniki, przy dzieleniu – odejmujemy.

Ponieważ \(27=3^3\), odwrotność 27 to \(3^{-3}\). W potędze potęgi mnożymy wykładniki.

Korzystamy ze wzoru \(\sqrt3=3^{1/2}\) i dodajemy wykładniki przy mnożeniu.

Przy dzieleniu potęg o jednakowej podstawie odejmujemy wykładniki.

Podstawa \(3>1\), więc większy wykładnik oznacza większą liczbę. Mamy uporządkować malejąco.

Przesunięcie wykresu o 2 jednostki w prawo zapisujemy przez zastąpienie \(x\) wyrażeniem \(x-2\), a nie odejmowanie 2 od całej funkcji.

Rozdzielamy potęgę różnicy wykładników.

Punkt \((0,1)\) z wykresu \(f\) po przesunięciu przechodzi w \((2,1)\), co widać na wykresie.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

Chcemy zostawić samą potęgę po jednej stronie równania.

Zapisujemy obie strony jako potęgi 2, żeby móc porównać wykładniki.

Rozwijamy nawias i przenosimy wyrazy.

Podstawiamy obliczony argument do pierwotnego wzoru.

Funkcja \(a^x\) jest rosnąca dla \(a>1\), a malejąca dla \(0

Ułamek \(\frac{25}{9}\) jest kwadratem \(\frac53\), czyli potęgą \(\frac35\) z ujemnym wykładnikiem.

W potędze potęgi mnożymy wykładniki; konieczne są nawiasy wokół \(7-x\).

Dla identycznych podstaw różnych od 1 równe potęgi mają równe wykładniki.

To ułatwi zapisanie prawej strony jako potęgi \(\frac25\).

Przypominamy, że \(a^{-n}=(1/a)^n\).

Podstawy są identyczne i różne od 1.

W każdym składniku występuje \(2^x\). Wykorzystujemy \(2^{x+k}=2^x\cdot2^k\).

Dzięki temu równanie z trzema potęgami zamienia się w jedno proste równanie.

Obliczamy wartość potęgi.

Dla podstawy 2 taka sama wartość potęgi wymaga tego samego wykładnika.

Pierwiastek zapisujemy jako potęgę z wykładnikiem \(\frac12\).

Ponieważ \(0<\frac25<1\), funkcja wykładnicza jest malejąca. Dlatego większa wartość potęgi oznacza mniejszy wykładnik.

Dodajemy 1 i dzielimy przez 3.

Podstawa 3 jest większa od 1, dlatego znaki nierówności pozostają bez zmian. Uwaga: po lewej znak jest ostry \(<\), po prawej nieostry \(\le\).

Kółka puste oznaczają końce wykluczone; pełne – należące do rozważanej nierówności. Ostateczną część wspólną odczytaj z obliczeń powyżej.

Zapis \(\log\) bez podstawy w tym zadaniu oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10. Wszystkie argumenty logarytmów są dodatnie.

Liczymy wartości wyrażeń pod logarytmem, a następnie same logarytmy.

Pamiętamy, że \(\log 10^k=k\).

Dzielenie ułamka przez 3 oznacza pomnożenie mianownika przez 3.

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, by otrzymać argument?

Wstawiamy otrzymaną liczbę 3.

Każda dodatnia podstawa logarytmu różna od 1 podniesiona do potęgi 0 daje 1.

Pierwiastek z 3 to potęga z wykładnikiem \(\frac12\), a liczba 81 to \(3^4\).

Jeśli \(y=\log_a b\), to \(a^y=b\).

Zapisujemy równanie liniowe i dzielimy przez \(\frac32\).

Bez indeksu \(\log\) oznacza podstawę 10.

Podstawa logarytmu wynosi \(0{,}01=10^{-2}\), a argument 100 to \(10^2\).

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie jej przeciwnej.

Dla \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\) oraz dowolnej podstawy \(c>0\), \(c\ne1\) zachodzi:

Zgodnie z poleceniem podstawą logarytmów w otrzymanym wyrażeniu ma być 3.

Dzielenie liczby niezerowej przez samą siebie daje 1. Logarytm w mianowniku nie jest zerem, bo \(\frac12\ne1\).

Ponieważ \(6^1=6\), to \(1=\log_6 6\).

Korzystamy z własności \(\log_u m+\log_u n=\log_u(mn)\), która działa dla dodatnich argumentów.

Logarytm o ustalonej dopuszczalnej podstawie jest różnowartościowy: identyczne wartości oznaczają identyczne argumenty.

Przenosimy wszystko na jedną stronę i wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia.

Korzystamy z własności \(k\log_a b=\log_a(b^k)\).

Różnica logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem ilorazu.

Ułamek \(\frac{27}{25}\) to \(1{,}08\), co odpowiada wariantowi C.

Każdy argument logarytmu musi być dodatni. Nawet jeśli czynnik później się skróci, ograniczenie pozostaje.

Szukamy liczb o iloczynie \(-2\) i sumie \(1\): to 2 i –1.

Warunek \(x-1>0\) oznacza \(x>1\). Wtedy także \(x+3>0\) oraz oba czynniki trójmianu są dodatnie.

Sumę zamieniamy w logarytm iloczynu, a odejmowanie w logarytm ilorazu.

W dziedzinie mamy \(x-1>0\), więc na pewno \(x-1\ne0\) – wolno skrócić.

Logarytm jest określony dla \(x>0\). Podstawy \(\sqrt5\) i \(\sqrt3\) są większe od 1, więc oba logarytmy rosną.

Dla podstawy większej od 1 podniesienie jej do potęgi nie zmienia zwrotu nierówności.

Nierówność \(4<\log_{\sqrt3}x\) prowadzi do \(x>(\sqrt3)^4\).

Oba znaki są ostre, więc 9 i 25 nie należą do odpowiedzi.

Dobieramy rozkłady pozwalające na skracanie logarytmów.

Wygodnie zapisać \(\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}\).

W liczniku i mianowniku występują te same logarytmy, które się redukują.

Stosujemy wzór zmiany podstawy. Logarytm naturalny \(\ln\) jest tylko narzędziem – końcowa odpowiedź ma zależeć od \(s,t\).

Z pierwszego równania \(\ln5=s\ln2\), z drugiego \(\ln3=\frac{3\ln2}{t}\).

Ponownie korzystamy ze zmiany podstawy i skracamy \(\ln2\).

Dzięki zmianie podstawy wszystkie składniki będą logarytmami o tej samej podstawie.

Korzystamy z \(\log_{2^k} a=\frac1k\log_2 a\) oraz własności logarytmu z potęgi.

Dodawanie odpowiada mnożeniu argumentów, odejmowanie – dzieleniu.

Zapis \(12\%\) spadku rocznie oznacza, że po każdym roku pozostaje \(88\%\) dotychczasowej populacji.

Szukamy chwili, w której model osiąga poziom 10 000; liczba lat musi być potem zaokrąglona zgodnie z sensem pytania.

Gdy niewiadoma jest w wykładniku, logarytm pozwala ją sprowadzić przed logarytm.

Po 5 latach populacja nadal przekracza 10 000, a po 6 latach spada poniżej. Nie zaokrąglamy do 5, ponieważ pytanie dotyczy osiągnięcia lub przekroczenia progu.

To poziomy w decybelach, a nie bezpośrednie natężenia dźwięku. Oznaczamy je \(I_1\) i \(I_2\).

Różnica logarytmów zamienia się w logarytm ilorazu, a \(I_0\) się skraca.

Dzielimy przez 10, a następnie używamy definicji logarytmu dziesiętnego.

Ujemny wykładnik przy ułamku odwraca podstawę. Pierwiastek z 3 to potęga \(3^{1/2}\).

Do każdego wzoru wstawiamy podany argument.

Zapis o jednej podstawie upraszcza późniejsze działania.

W liczniku dodajemy wykładniki, a przy dzieleniu odejmujemy te z mianownika.

Liczba \(8=2^3\), a \(\sqrt2=2^{1/2}\). Wykładniki w iloczynie dodajemy.

Ponieważ \(64=2^6\), odwrotność 64 to \(2^{-6}\).

Przy dzieleniu odejmujemy wykładniki.

Ponieważ podstawa \(2>1\), większy wykładnik oznacza większą potęgę, nawet dla wykładników ujemnych.

Przesunięcie wykresu o 3 jednostki w lewo oznacza, że w miejsce \(x\) wpisujemy \(x+3\).

Przy dodawaniu wykładników potęgi o tej samej podstawie się mnożą.

Punkt \((0,1)\) funkcji \(f\) przesuwa się do punktu \((-3,1)\) funkcji \(g\).

Miejsce zerowe jest tam, gdzie wykres przecina oś \(OX\).

Dodajemy 1, a następnie mnożymy przez 3.

Mamy \(9=3^2\); potęgę potęgi upraszczamy przez wymnożenie wykładników.

Równe potęgi o tej samej podstawie różnej od 1 mają równe wykładniki.

Podstawiamy do pierwotnej funkcji.

Potęga \(a^x\) rośnie dla \(a>1\) i maleje dla \(0

Podstawa jest mniejsza niż 1, a wykładnik \(2+x\) rośnie – cała funkcja maleje.

Minus przed \(x\) odwraca podstawę potęgi, dzięki czemu dostajemy podstawę większą niż 1.

Po wyciągnięciu stałego czynnika podstawa wynosi \(\frac12\), więc funkcja maleje.

Zamiana daje podstawę \(\frac13\), dlatego funkcja maleje.

Ułamek \(\frac4{25}\) jest odwrotnością kwadratu \(\frac52\).

Uważaj na nawias: mnożymy przez –2 zarówno \(x\), jak i 1.

Dodajemy \(2x\) po obu stronach, a następnie odejmujemy 4.

Potrzebujemy ułamka zawierającego liczby 2 i 3.

Odwrócenie podstawy odpowiada zmianie znaku wykładnika.

Podstawa jest taka sama po obu stronach równania.

Każdy składnik zawiera potęgę \(3^x\).

Potęga \(3^3\) wynosi 27.

Dzielimy przez 31.

Podstawiamy \(x=1\).

Podstawą po obu stronach ma być \(\frac23\).

Podstawa \(\frac23\) należy do przedziału \((0,1)\), więc potęga jest malejąca.

Dodajemy 3 i dzielimy przez 4.

Lewa granica to \(5^{-2}\); ponieważ podstawa 5 jest większa niż 1, zachowujemy zwroty znaków.

W zadaniu symbol \(\log\) oznacza logarytm dziesiętny. Wartość \(x=0{,}1\) spełnia warunki dodatniości argumentów.

Zamieniamy liczby pod logarytmami na potęgi 10.

Należy odróżnić \(x^2\) od \(2x\).

Zachowujemy znak ujemny mianownika.

Ponieważ \(2^4=16\), wewnętrzny logarytm ma wartość 4.

Ponieważ \(4^1=4\), środkowy logarytm ma wartość 1.

Każda dodatnia liczba różna od 1 podniesiona do zerowej potęgi daje 1.

Pierwiastek kwadratowy to wykładnik \(\frac12\).

Oznaczamy wynik przez \(y\) i zamieniamy zapis logarytmiczny na wykładniczy.

Po skróceniu podstawy 2 zostaje proste równanie liniowe.

Podstawa mniejsza od 1 jest dopuszczalna; wynik logarytmu liczby większej od 1 będzie ujemny.

Zapis \(\log0{,}01\) oznacza podstawę 10.

Odejmujemy liczbę –2, czyli dodajemy 2.

Aby mieć podstawę 2, wstawiamy do wzoru \(c=2\).

Podstawa i argument początkowego logarytmu to ta sama liczba.

Licznik i mianownik są takie same, a mianownik jest różny od zera.

Ponieważ \(4^1=4\), mamy \(1=\log_4 4\).

Dodawanie logarytmów oznacza mnożenie ich argumentów.

Przy tej samej dopuszczalnej podstawie funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.

Przenosimy składniki na jedną stronę.

Korzystamy z własności \(n\log_a b=\log_a(b^n)\).

Logarytm ilorazu to różnica logarytmów.

Ułamek \(\frac4{125}\) zapisujemy dziesiętnie.

Argument każdego logarytmu musi być dodatni.

Liczby, których iloczyn to –6, a suma –5, to –6 i 1.

Ostatni iloczyn jest dodatni dla \(x<-1\) lub \(x>6\); jednak \(x+1>0\) wyklucza pierwszą część.

Dodawanie odpowiada mnożeniu, a odejmowanie – dzieleniu argumentów.

Możemy skrócić \(x+1\), bo w dziedzinie jest dodatni. Dziedzina pozostaje bez zmian.

Każdy logarytm argumentu \(x\) wymaga \(x>0\). Podstawy \(\sqrt7\) i \(\sqrt3\) są większe od 1, więc funkcje rosną.

Dla rosnącej funkcji logarytmicznej przy potęgowaniu zachowujemy znak nierówności.

Podnosimy podstawę do potęgi 4.

Granice nie są dołączone, bo nierówności są ostre.

Podstawy i argumenty zapisujemy jako potęgi liczb pierwszych.

Używamy \(\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}\).

Każdy logarytm w liczniku pojawia się też w mianowniku innego czynnika.

Można wykorzystać dowolną podstawę pośrednią, na przykład logarytm naturalny.

Z drugiej zależności mamy \(\ln2=\frac{k\ln3}{3}\), a z pierwszej \(\ln3=r\ln5\).

Podstawiamy do ilorazu i skracamy \(\ln5\).

Zgodnie z poleceniem niech \(q=\frac12\). Wszystkie występujące podstawy można zapisać jako potęgi \(q\).

Korzystamy z własności \(\log_{q^k} a=\frac1k\log_q a\).

Dodawanie oznacza iloczyn argumentów, a odejmowanie – iloraz.

Jeśli ubywa 5% rocznie, to po każdym roku pozostaje 95% poprzedniej liczebności.

Warunek \(Z_n=12\,000\) zamienia się w równanie wykładnicze.

Niewiadoma znajduje się w wykładniku; korzystamy z własności \(\ln(a^n)=n\ln a\).

Odpowiedź musi dotyczyć całkowitej liczby lat; nie należy jej zwyczajnie zaokrąglać do najbliższej liczby.

Poziom w decybelach jest logarytmem ilorazu natężeń. To nie jest skala liniowa.

Wykorzystujemy własność logarytmu ilorazu; stała \(I_0\) się skraca.

Logarytm dziesiętny równy 4 oznacza iloraz równy \(10^4\).