Krótka teoria – funkcja liniowa
Funkcja liniowa ma wzór f(x) = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny.
Monotoniczność: gdy a > 0 – funkcja rośnie; gdy a < 0 – maleje; gdy a = 0 – jest stała.
Przecięcie z osią OY: podstawiamy x = 0. Przecięcie z osią OX: podstawiamy f(x) = 0.
Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe: a₁ = a₂. Proste prostopadłe spełniają warunek a₁ · a₂ = −1.
Punkt przecięcia dwóch wykresów: przyrównujemy wzory funkcji, obliczamy x, a potem y.
Zadanie 1 (2 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji f(x) = −2x + 6. Wyznacz punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy x = 0:
f(0) = −2 · 0 + 6 = 6
Punkt: (0, 6).
Podstawiamy f(x) = 0:
0 = −2x + 6
2x = 6
x = 3
Punkt: (3, 0).
Zadanie 2 (2 pkt)
Dana jest funkcja f(x) = (3 + m)x + 9.
a) Wyznacz, dla jakiego m funkcja jest rosnąca.
b) Oblicz f(−3).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
3 + m > 0
m > −3
f(−3) = (3 + m) · (−3) + 9
= −9 − 3m + 9
= −3m
Zadanie 3 (2 pkt)
Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że jej wykres przechodzi przez punkty A(0, −2) i B(1, 4).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
4 = a · 1 − 2
4 = a − 2
a = 6
Zadanie 4 (2 pkt)
Wyznacz m, wiedząc, że wykres funkcji f(x) jest równoległy do wykresu funkcji g(x), gdy f(x) = (m − 1)x + 5 i g(x) = 2 − 3x.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
m − 1 = −3
m = −2
Zadanie 5 (2 pkt)
Wyznacz m, wiedząc, że wykres funkcji f(x) jest prostopadły do wykresu funkcji g(x), gdy f(x) = (−0,25m + 3)x + 2 i g(x) = 4x − 8.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
(−0,25m + 3) · 4 = −1
−m + 12 = −1
−m = −13
m = 13
Zadanie 6 (3 pkt)
Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) = 2x + 6 i g(x) = −12x + 4.
a) Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresów tych funkcji.
b) Porównaj liczby f(−2) i g(−2).
c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie.
Pokaż rozwiązanie
2x + 6 = −12x + 4
Mnożymy całe równanie przez 2, aby pozbyć się ułamka:
4x + 12 = −x + 8
5x = −4
x = −45
Podstawiamy do f(x):
y = 2 · (−45) + 6 = −85 + 305 = 225
Punkt przecięcia: (−45, 225).
f(−2) = 2 · (−2) + 6 = 2
g(−2) = −12 · (−2) + 4 = 5
Zatem f(−2) < g(−2).
Pierwsza funkcja:
2x + 6 > 0
2x > −6
x > −3
Druga funkcja:
−12x + 4 > 0
−12x > −4
x < 8
Uwaga: przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności!
Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie: x > −3 i x < 8.
a) (−45, 225)
b) f(−2) < g(−2)
c) x ∈ (−3; 8).