1. Zaczynamy od hiperboli
Przypomnijmy funkcję proporcjonalności odwrotnej:
Jej wykresem jest hiperbola, która ma dwie gałęzie. Gdy a > 0, gałęzie leżą w I i III ćwiartce, a gdy a < 0 – w II i IV ćwiartce.
Przykład: y = 2x. Pomarańczowe linie przerywane to asymptoty: x = 0 oraz y = 0.
2. Czym jest funkcja homograficzna?
Funkcja homograficzna ma postać ogólną:
gdzie C ≠ 0 oraz AD − BC ≠ 0. Drugi warunek sprawia, że funkcja nie upraszcza się do stałej.
Do rysowania wykresu wygodniejsza jest postać kanoniczna:
Jak rozumieć przesunięcia?
| Wzór | Przesunięcie |
|---|---|
| 2x − 3 | 3 w prawo |
| 2x + 3 | 3 w lewo |
| 2x + 4 | 4 w górę |
| 2x − 4 | 4 w dół |
Uwaga na znak! W mianowniku x − 3 oznacza przesunięcie w prawo, a x + 3 – w lewo.
3. Przykład – rysujemy wykres
- Rozpoczynamy od hiperboli y = 2x.
- Przesuwamy ją 3 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę.
- Rysujemy asymptoty: x = 3 oraz y = 1.
- Obliczamy kilka punktów: f(4) = 3, f(5) = 2, f(2) = −1, f(1) = 0.
- Zaznaczamy punkty (4, 3), (5, 2), (2, −1), (1, 0) i szkicujemy dwie gałęzie.
Środek symetrii: S = (3, 1).
4. Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?
Krok 1. Chcemy uzyskać w liczniku wielokrotność mianownika. Ponieważ 3(x − 1) = 3x − 3, musimy dodać 2.
Krok 2. Rozdzielamy ułamek na sumę:
Odpowiedź: f(x) = 2x − 1 + 3. Asymptoty: x = 1 oraz y = 3.
Można też podzielić licznik przez mianownik. Otrzymujemy iloraz 3 i resztę 2.
5. Najważniejsze własności
Rozważmy funkcję f(x) = 2x − 3 + 1.
| Własność | Jak wyznaczyć? |
|---|---|
| Dziedzina | ℝ ∖ {3} – mianownik nie może być zerem |
| Zbiór wartości | ℝ ∖ {1} – funkcja nie przyjmuje wartości asymptoty poziomej |
| Asymptoty | x = 3, y = 1 |
| Środek symetrii | S = (3, 1) |
| Miejsce zerowe | x = 1 |
| Monotoniczność | Malejąca osobno na (−∞, 3) i (3, +∞) |
Jak obliczyć miejsce zerowe? Przyrównujemy funkcję do zera:
Jak znaleźć przecięcie z osią OY? Podstawiamy x = 0:
Otrzymujemy punkt (0, 13).
6. Kiedy funkcja jest dodatnia, a kiedy ujemna?
Co oznacza, że funkcja jest dodatnia lub ujemna? Dla każdej liczby x z dziedziny funkcja daje wynik f(x). Sprawdzamy, kiedy ten wynik jest większy od zera, a kiedy mniejszy.
- f(x) > 0 – funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli wykres leży nad osią OX.
- f(x) < 0 – funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli wykres leży pod osią OX.
- f(x) = 0 – to miejsce zerowe, czyli punkt wykresu na osi OX.
Po co to robimy? Dzięki temu umiemy odpowiedzieć na pytania: „dla jakich x wynik jest dodatni?” i „kiedy wykres znajduje się poniżej osi OX?”. To także sposób rozwiązywania nierówności, np. f(x) > 0.
Jak sprawdzić znak ułamka? Jeśli licznik i mianownik mają ten sam znak, ułamek jest dodatni. Jeśli mają różne znaki, ułamek jest ujemny. Najpierw znajdujemy miejsca zerowe licznika i mianownika, a potem sprawdzamy znaki w kolejnych przedziałach.
Uwaga: jeśli mianownik jest równy zero, funkcja nie jest określona – takiej liczby nie wolno uwzględnić w odpowiedzi.
Jak czytać wykres? Zielone fragmenty znajdują się nad osią OX (wynik dodatni), pomarańczowy pod osią OX (wynik ujemny). Punkt x = 2 to miejsce zerowe, a x = −1 jest wykluczony z dziedziny.
W liczniku jest zero dla x = 2, a w mianowniku dla x = −1 (tej liczby nie wolno podstawiać).
Dzielimy oś na przedziały: (−∞, −1), (−1, 2), (2, +∞).
| Przedział | Znak licznika | Znak mianownika | Znak f(x) |
|---|---|---|---|
| x < −1 | − | − | + |
| −1 < x < 2 | − | + | − |
| x > 2 | + | + | + |
Odpowiedź: f(x) > 0 dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞), a f(x) < 0 dla x ∈ (−1, 2). Dla x = 2 funkcja jest równa zero.
7. Czy funkcja jest różnowartościowa?
Funkcja różnowartościowa to taka, w której dwa różne argumenty nie mogą dać tego samego wyniku. Innymi słowy: jeżeli x₁ ≠ x₂, to f(x₁) ≠ f(x₂).
Jak rozpoznać ją na wykresie? Każda pozioma prosta może przeciąć wykres co najwyżej raz.
Każda prawdziwa funkcja homograficzna jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie. Przykładowo funkcja poniżej nigdy nie przyjmie tej samej wartości dla dwóch różnych argumentów:
Dlaczego? Gdyby dla dwóch argumentów x₁ i x₂ wyniki były równe, to po odjęciu 1 i pomnożeniu przez mianowniki otrzymalibyśmy x₁ = x₂. A więc różne argumenty nie mogą mieć jednakowych wyników.
Jak czytać wykres? Fioletowe poziome linie przecinają niebieską hiperbolę każda w jednym punkcie. Tak będzie dla każdej poziomej prostej – dlatego funkcja jest różnowartościowa.
Sprawdź, czy funkcja f(x) = 3x + 2 − 4 jest różnowartościowa.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Funkcja ma postać kanoniczną z licznikiem 3 ≠ 0, więc jest funkcją homograficzną.
Krok 2. Każda funkcja homograficzna jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Odpowiedź: Tak, funkcja jest różnowartościowa dla x ≠ −2.
8. Zadania do ćwiczeń
Najpierw spróbuj samodzielnie. Kliknij „Pokaż rozwiązanie”, żeby zobaczyć kolejne kroki.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Mianownik nie może być równy zero: x + 4 ≠ 0.
Krok 2. Stąd x ≠ −4.
Odpowiedź: D = ℝ ∖ {−4}.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Porównujemy wzór z ax − p + q: p = 2, q = 4.
Krok 2. Asymptoty: x = 2 oraz y = 4.
Krok 3. Środek symetrii: S = (2, 4).
Krok 4. Wartość 4 jest wykluczona.
Odpowiedź: ZW = ℝ ∖ {4}.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. x + 5 = (x + 2) + 3.
Krok 2. p = −2, q = 1.
Odpowiedź: f(x) = 3x + 2 + 1, asymptoty x = −2, y = 1.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Miejsce zerowe: 2x − 6 = 0, więc x = 3. Mianownik dla x = 3 jest różny od zera.
Krok 2. Dla osi OY podstawiamy x = 0: f(0) = −6.
Odpowiedź: (3, 0) i (0, −6).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zaczynamy od y = −2x.
Krok 2. Przesuwamy wykres o 1 w lewo i 2 w górę.
Krok 3. Asymptoty to x = −1 i y = 2.
Krok 4. Ponieważ a = −2 < 0, funkcja jest rosnąca osobno na (−∞, −1) i (−1, +∞).
Krok 5. Przykładowe punkty: (0, 0), (1, 1), (−2, 4).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem:
Krok 2. Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika. Dla x ≠ 5 liczba (x − 5)² jest dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia.
Krok 3. Miejsca zerowe. Przyrównujemy iloczyn do zera:
Nie potrzebujemy delty, bo wielomian jest już rozłożony na czynniki.
Krok 4. Odczytujemy znak z paraboli. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Szukamy miejsc, w których parabola leży nad osią OX.
Krok 5. Odpowiedź. Nie uwzględniamy 4, bo nierówność jest ostra, ani 5, bo jest wykluczone z dziedziny.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Podstawiamy współrzędne punktu P = (−3, 2). Zatem x = −3, a f(x) = 2.
Krok 2. Zapisujemy L = P i rozwiązujemy równanie.
Odpowiedź: m = 28.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Przekształcamy wzór:
Krok 2. Aby dla całkowitego x wynik był całkowity, x − 3 musi być całkowitym dzielnikiem liczby 5: −5, −1, 1 lub 5.
Krok 3. Stąd x = −2, 2, 4, 8.
Krok 4. Obliczamy y: odpowiednio 1, −3, 7, 3.
Odpowiedź: (−2, 1), (2, −3), (4, 7), (8, 3).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dla postaci Ax+BCx+D sprawdzamy AD − BC ≠ 0.
Krok 2. Tutaj A = k, B = 6, C = 1, D = 2, zatem AD − BC = 2k − 6.
Krok 3. Warunek nie jest spełniony, gdy 2k − 6 = 0.
Odpowiedź: k = 3. Wtedy f(x) = 3 dla x ≠ −2 – jest to funkcja stała z usuniętym punktem.
9. Podsumowanie – co trzeba umieć?
✓ Rozpoznać wzór funkcji homograficznej.
✓ Przekształcić postać ogólną na kanoniczną.
✓ Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i asymptoty.
✓ Naszkicować wykres i odczytać jego przesunięcie.
✓ Obliczyć miejsca zerowe i przecięcie z osią OY.
✓ Określić monotoniczność i znak funkcji.
✓ Rozwiązywać zadania z parametrem i punktami całkowitymi.
Wskazówka: jeśli w zadaniu masz narysować wykres, zacznij od asymptot. To najłatwiejszy sposób, by uniknąć błędów.