Ekstrema lokalne pozwalają znaleźć miejsca, w których funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć albo odwrotnie — przestaje maleć i zaczyna rosnąć. Dzięki temu możemy znaleźć lokalne „górki” i „dołki” wykresu.
Pochodna mówi nam, co w danym miejscu robi funkcja.
Gdy f′(x) > 0, funkcja rośnie. Gdy f′(x) < 0, funkcja maleje.
Dlatego zamiast zgadywać z wykresu, gdzie znajduje się maksimum lub minimum, sprawdzamy, gdzie pochodna zmienia znak.
1. Co to jest maksimum i minimum lokalne?
Wyobraź sobie, że poruszasz się po wykresie od lewej do prawej.
Jeżeli najpierw idziesz w dół, a potem w górę, przechodzisz przez lokalny dołek — czyli minimum lokalne.
Jeżeli najpierw idziesz w górę, a potem w dół, przechodzisz przez lokalną górkę — czyli maksimum lokalne.
Minimum lokalne
Funkcja maleje, a potem rośnie.
Maksimum lokalne
Funkcja rośnie, a potem maleje.
Słowo lokalne oznacza, że porównujemy wartości funkcji tylko z punktami znajdującymi się w pobliżu. Lokalny dołek nie musi więc być najniższym punktem całego wykresu.
2. Jak szukamy ekstremów?
Nie musimy zapamiętywać wielu oddzielnych reguł. W większości zadań wystarczy jeden schemat.
- Wyznaczamy dziedzinę funkcji.
- Liczymy pochodną f′(x).
- Szukamy miejsc, w których f′(x)=0.
- Sprawdzamy znak pochodnej po obu stronach tych punktów.
- Jeżeli znak się zmienia, rozpoznajemy minimum albo maksimum.
- Na końcu obliczamy wartość funkcji w punkcie ekstremum.
Jeżeli funkcja najpierw rośnie, a potem zaczyna maleć, albo najpierw maleje, a potem zaczyna rosnąć, może pojawić się ekstremum lokalne. W takim punkcie pochodna może być równa 0, dlatego szukamy miejsc, w których:
Samo otrzymanie zera pochodnej nie wystarcza. Musimy jeszcze sprawdzić, co dzieje się ze znakiem pochodnej.
3. Jak szybko ustalić znaki pochodnej?
Gdy pochodna jest zapisana w postaci iloczynu, możemy wykorzystać bardzo prostą własność potęg.
Potęga parzysta — odbijamy się
Wykres dotyka osi OX i odbija się. Znak po przejściu przez x=2 się nie zmienia.
Potęga nieparzysta — przechodzimy
Wykres przechodzi przez oś OX. Znak po przejściu przez x=2 się zmienia.
Patrzymy na potęgę czynnika, który zeruje pochodną:
potęga parzysta → odbijamy się → znak się nie zmienia,
potęga nieparzysta → przechodzimy przez oś → znak się zmienia.
Matematycznie mówimy tutaj o parzystej lub nieparzystej krotności miejsca zerowego.
4. Przykład — jedno minimum
Krok 1. Dziedzina
Krok 2. Liczymy pochodną
Krok 3. Szukamy miejsca zerowego pochodnej
Krok 4. Sprawdzamy znak pochodnej
Czynnik (x−2) występuje w pierwszej potędze. Jest to potęga nieparzysta, więc w punkcie x=2 przechodzimy przez oś i zmieniamy znak.
Funkcja najpierw maleje, a potem rośnie. W punkcie x=2 mamy więc minimum lokalne.
Krok 5. Obliczamy wartość funkcji
5. Przykład — maksimum i minimum
Krok 1. Dziedzina
Krok 2. Liczymy pochodną
Krok 3. Miejsca zerowe pochodnej
Krok 4. Ustalamy znaki
Oba nawiasy występują w pierwszej potędze. W obu miejscach zerowych mamy więc potęgę nieparzystą — za każdym razem przechodzimy przez oś i zmieniamy znak.
Po prawej stronie, np. dla x=2, pochodna jest dodatnia. Zaczynamy więc od znaku + i cofamy się, zmieniając znak przy każdym miejscu zerowym.
Przy x=−1 znak zmienia się z + na −. Funkcja rośnie, a potem maleje — mamy maksimum.
Przy x=1 znak zmienia się z − na +. Funkcja maleje, a potem rośnie — mamy minimum.
Krok 5. Obliczamy wartości
f(1)=−2
Minimum lokalne: (1,−2).
6. Czy f′(x)=0 zawsze oznacza ekstremum?
Nie. Dlatego właśnie po znalezieniu miejsca zerowego pochodnej zawsze sprawdzamy jej znak.
Jeżeli pochodna ma ten sam znak po obu stronach punktu, funkcja po obu stronach nadal robi to samo — np. cały czas rośnie. Nie powstaje więc ani górka, ani dołek.
7. A co, jeśli pochodna nie istnieje?
Zwykle szukamy ekstremów, obliczając pochodną i rozwiązując równanie f'(x)=0. Ale funkcja może mieć minimum lub maksimum nawet wtedy, gdy pochodna w danym punkcie nie istnieje. Spójrz na wykres ze zdjęcia:
Gdy przesuwamy się po wykresie od lewej do prawej, najpierw schodzimy w dół, dochodzimy do punktu (0,0), a potem idziemy w górę. Dlatego w tym punkcie jest minimum. Dlaczego pochodna tam nie istnieje? Pochodna określa nachylenie wykresu. Po lewej stronie wierzchołka nachylenie wynosi -1, a po prawej 1. W samym wierzchołku nie ma jednego wspólnego nachylenia — wykres ma ostry kant. To wyjątek od naszej podstawowej metody szukania miejsc, w których f'(x)=0.
8. Zadania
W każdym zadaniu spróbuj najpierw samodzielnie policzyć pochodną, znaleźć jej miejsca zerowe i narysować znaki. Dopiero potem rozwiń rozwiązanie.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x2+6x+7.
Pokaż rozwiązanie
Nawias (x+3) jest w pierwszej, czyli nieparzystej potędze. W punkcie x=−3 wykres pochodnej przechodzi więc przez oś OX i zmieniamy znak.
Dla x<−3 pochodna jest ujemna, więc funkcja maleje. Dla x>−3 pochodna jest dodatnia, więc funkcja rośnie.
Funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, dlatego dla x=−3 ma minimum lokalne.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=−x2+8x−11.
Pokaż rozwiązanie
Nawias (x−4) jest w pierwszej, czyli nieparzystej potędze. W punkcie x=4 wykres pochodnej przechodzi przez oś OX.
Pamiętaj jednak o liczbie −2 stojącej przed nawiasem. To ona powoduje, że po lewej stronie pochodna jest dodatnia, a po prawej ujemna.
Funkcja najpierw rośnie, a następnie maleje, dlatego dla x=4 ma maksimum lokalne.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x3−12x.
Pokaż rozwiązanie
Oba nawiasy występują w pierwszej, czyli nieparzystej potędze. W punktach x=−2 i x=2 wykres pochodnej przechodzi więc przez oś OX i za każdym razem zmieniamy znak.
Dla x=−2 funkcja najpierw rośnie, a następnie maleje, dlatego mamy maksimum lokalne.
Dla x=2 funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, dlatego mamy minimum lokalne.
f(2)=23−12·2 =8−24=−16
maksimum lokalne: (−2,16),
minimum lokalne: (2,−16).
Sprawdź, czy funkcja f(x)=x3+3x ma ekstrema lokalne.
Pokaż rozwiązanie
Dla każdej liczby rzeczywistej:
Zatem:
Pochodna jest cały czas dodatnia, więc funkcja rośnie w całej swojej dziedzinie. Nie ma miejsca, w którym zmieniałaby się z rosnącej w malejącą lub odwrotnie.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x4−8x2.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkie trzy czynniki: (x+2), x oraz (x−2) występują w pierwszej, czyli nieparzystej potędze.
Dlatego w każdym z trzech miejsc zerowych przechodzimy przez oś OX i zmieniamy znak.
Dla x=−2 funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie — mamy minimum lokalne.
Dla x=0 funkcja najpierw rośnie, a następnie maleje — mamy maksimum lokalne.
Dla x=2 funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie — mamy minimum lokalne.
f(0)=0
f(2)=16−8·4=−16
minima lokalne: (−2,−16) i (2,−16),
maksimum lokalne: (0,0).
Sprawdź, czy funkcja f(x)=x5 ma ekstremum lokalne dla x=0.
Pokaż rozwiązanie
Czynnik x występuje w czwartej, czyli parzystej potędze.
W punkcie x=0 wykres pochodnej dotyka osi OX i się od niej odbija. Nie przechodzimy przez oś, dlatego nie zmieniamy znaku.
Po obu stronach zera pochodna jest dodatnia. Funkcja zarówno przed, jak i po x=0 rośnie.
Dlatego mimo że f′(0)=0, w punkcie x=0 nie ma ekstremum.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x4−4x3.
Pokaż rozwiązanie
Tutaj miejsca zerowe zachowują się inaczej.
Przy x=0 mamy czynnik x2. Potęga jest parzysta, więc wykres pochodnej dotyka osi OX i się od niej odbija. Znak się nie zmienia.
Przy x=3 mamy czynnik (x−3) w pierwszej, czyli nieparzystej potędze. Wykres przechodzi przez oś OX, dlatego znak się zmienia.
Przy x=0 pochodna jest ujemna po obu stronach. Funkcja cały czas maleje, dlatego x=0 nie jest punktem ekstremum.
Przy x=3 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, dlatego dla x=3 mamy minimum lokalne.