W tej lekcji nauczysz się dodawać i odejmować ułamki algebraiczne. Zaczniemy od jednakowych mianowników, a potem nauczymy się rozkładać mianowniki na czynniki, znajdować wspólny mianownik i upraszczać wynik. Każde trudniejsze przekształcenie pokażemy po kolei — bez przeskakiwania obliczeń.
1. Kiedy można dodawać liczniki?
Tak samo jak przy zwykłych ułamkach: liczniki dodajemy albo odejmujemy dopiero wtedy, gdy mianowniki są identyczne. Mianownik przepisujemy bez zmian.
AM + BM = A + BM (M ≠ 0)
AM − BM = A − (B)M (M ≠ 0)
Uwaga na minus! Jeśli odejmujemy licznik z kilkoma wyrazami, obejmujemy go nawiasem. Po usunięciu nawiasu zmieniamy znak każdego wyrazu.
2. Ułamki o jednakowych mianownikach
Przykład 1. Dodawanie
2x + 3x − 4 + x − 7x − 4
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.Mianownik nie może być równy zero. Zapisujemy warunek i rozwiązujemy proste równanie:
x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4.
Krok 2. Łączymy ułamki.Mianowniki są takie same: x − 4. Dodajemy więc tylko liczniki.
(2x + 3) + (x − 7)x − 4
Krok 3. Redukujemy wyrazy podobne.Łączymy 2x z x oraz 3 z −7.
2x + 3 + x − 7 = 3x − 4
3x − 4x − 4
Wynik: 3x − 4x − 4, gdzie x ≠ 4.
Przykład 2. Odejmowanie i zmiana znaków
3x + 2x + 1 − 2x − 5x + 1
Krok 1. Dziedzina.x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1.
Krok 2. Łączymy ułamki i stawiamy nawias.Mianownik pozostaje x + 1. Od pierwszego licznika odejmujemy cały drugi licznik:
(3x + 2) − (2x − 5)x + 1
Krok 3. Usuwamy nawias.Przed nawiasem jest minus: −(2x − 5) = −2x + 5.
3x + 2 − 2x + 5 = x + 7
x + 7x + 1
Wynik: x + 7x + 1, gdzie x ≠ −1.
3. Ułamki o różnych mianownikach — jak postępować?
| Etap | Co dokładnie robimy? |
|---|
| 1 | Sprawdzamy, kiedy oryginalne mianowniki nie są równe zero. To będzie nasza dziedzina. |
| 2 | Rozkładamy mianowniki na czynniki: wyłączamy wspólny czynnik, stosujemy wzór skróconego mnożenia lub obliczamy deltę. |
| 3 | Ustalamy wspólny mianownik, w którym każdy potrzebny czynnik występuje w odpowiedniej, największej potędze. |
| 4 | Każdy ułamek osobno rozszerzamy przez brakujący czynnik (w liczniku i mianowniku). |
| 5 | Dopiero po sprowadzeniu do wspólnego mianownika łączymy liczniki, usuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne. |
| 6 | Jeśli się da, rozkładamy licznik na czynniki i skracamy. Nie zmieniamy wcześniej wyznaczonej dziedziny. |
Przypomnienie. Trzy sposoby rozkładania na czynnikiA. Wyłączenie wspólnego czynnika: gdy w każdym wyrazie występuje np. x, możemy wyłączyć x przed nawias.
x² + x = x(x + 1)
B. Wzory skróconego mnożenia: np. różnica kwadratów i kwadrat sumy.
a² − b² = (a − b)(a + b) ⇒ x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
a² + 2ab + b² = (a + b)² ⇒ x² + 10x + 25 = (x + 5)²
C. Delta: gdy mamy trójmian kwadratowy ax² + bx + c (a ≠ 0), możemy obliczyć jego pierwiastki.
Δ = b² − 4ac
x₁ = −b − √Δ2a x₂ = −b + √Δ2a
Jeśli Δ > 0, zapisujemy a(x − x₁)(x − x₂). Jeśli Δ = 0, otrzymujemy a(x − x₀)². Jeśli Δ < 0, trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc nie rozłożymy go w ten sposób na czynniki liniowe o współczynnikach rzeczywistych.
Przykład 3. Rozkład mianowników i wspólny mianownik
3x² + x − 2xx² − 1
Krok 1. Rozkładamy mianowniki, korzystając z poznanych sposobów.W pierwszym mianowniku oba wyrazy zawierają x, więc wyłączamy x przed nawias:
x² + x = x(x + 1)
W drugim mianowniku mamy różnicę kwadratów: x² − 1².
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
Krok 2. Wyznaczamy dziedzinę.Żaden z czynników mianowników nie może być zerem:
x ≠ 0, x + 1 ≠ 0, x − 1 ≠ 0
D = ℝ ∖ {−1, 0, 1}
Krok 3. Dobieramy wspólny mianownik.Pierwszy mianownik ma czynniki x oraz (x + 1); drugi ma (x − 1) oraz (x + 1). Wspólny czynnik (x + 1) zapisujemy tylko raz.
M = x(x + 1)(x − 1)
Krok 4. Rozszerzamy pierwszy ułamek.Brakuje w nim czynnika (x − 1). Mnożymy przez x − 1x − 1:
3x(x + 1) = 3(x − 1)x(x + 1)(x − 1)
Krok 5. Rozszerzamy drugi ułamek.Brakuje czynnika x. Mnożymy licznik i mianownik przez x:
2x(x − 1)(x + 1) = 2x · xx(x − 1)(x + 1) = 2x²x(x − 1)(x + 1)
Krok 6. Odejmujemy liczniki.Teraz mianowniki są jednakowe, więc zapisujemy jeden ułamek. W liczniku zachowujemy minus przed drugim składnikiem.
3(x − 1) − 2x²x(x + 1)(x − 1)
Krok 7. Rozwijamy nawias i porządkujemy.3(x − 1) − 2x² = 3x − 3 − 2x² = −2x² + 3x − 3
Wynik: −2x² + 3x − 3x(x + 1)(x − 1), gdzie D = ℝ ∖ {−1, 0, 1}.
Przykład 4. Trójmian kwadratowy — pełne liczenie delty
x + 32x² + 5x − 3 − 4x + 110x − 5
Krok 1. Dlaczego potrzebujemy delty?Mianownik 2x² + 5x − 3 jest trójmianem kwadratowym. Żeby znaleźć wspólny mianownik, najpierw rozłożymy go na czynniki.
Krok 2. Odczytujemy współczynniki i liczymy deltę.a = 2, b = 5, c = −3
Δ = b² − 4ac = 5² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49
Krok 3. Obliczamy pierwiastki trójmianu.Pierwiastek z delty: √49 = 7. Podstawiamy do wzorów:
x₁ = −5 − 72 · 2 = −124 = −3
x₂ = −5 + 72 · 2 = 24 = 12
Krok 4. Zapisujemy rozkład na czynniki.Stosujemy wzór a(x − x₁)(x − x₂). W naszym przykładzie a = 2, x₁ = −3, x₂ = ½.
2x² + 5x − 3 = 2(x + 3)(x − 12)
Mnożymy 2 przez drugi nawias, żeby nie mieć ułamka w nawiasie:
2(x + 3)(x − 12) = (x + 3)(2x − 1)
W drugim mianowniku wyłączamy 5 przed nawias:
10x − 5 = 5(2x − 1)
Krok 5. Wyznaczamy dziedzinę z wyjściowych mianowników.(x + 3)(2x − 1) ≠ 0, 5(2x − 1) ≠ 0
x ≠ −3, x ≠ 12 ⇒ D = ℝ ∖ {−3, ½}
Krok 6. Skracamy pierwszy ułamek.Licznik i mianownik pierwszego ułamka zawierają czynnik (x + 3). Można go skrócić, ponieważ x ≠ −3.
x + 3(x + 3)(2x − 1) = 12x − 1
Krok 7. Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika.Wspólny mianownik to 5(2x − 1). Pierwszy ułamek rozszerzamy przez 5, drugi przepisujemy:
12x − 1 = 1 · 55(2x − 1) = 55(2x − 1)
4x + 15(2x − 1) = 4x + 15(2x − 1)
Krok 8. Odejmujemy i usuwamy nawias.55(2x − 1) − 4x + 15(2x − 1) = 5 − (4x + 1)5(2x − 1)
5 − (4x + 1) = 5 − 4x − 1 = 4 − 4x
Wynik: 4 − 4x5(2x − 1), gdzie D = ℝ ∖ {−3, ½}.
Przykład 5. Liczba całkowita i dwa ułamki
3 + 1x + 4 + 54 − x
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.W mianownikach mamy x + 4 i 4 − x, więc:
x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4
4 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 4
Krok 2. Ustalamy wspólny mianownik.Mianowniki mają różne czynniki (x + 4) i (4 − x), więc wspólny mianownik to ich iloczyn:
M = (x + 4)(4 − x)
Krok 3. Osobno rozszerzamy liczbę 3.Najpierw zamieniamy ją na ułamek o mianowniku 1, a potem mnożymy licznik i mianownik przez M:
3 = 31 = 3(x + 4)(4 − x)(x + 4)(4 − x)
Krok 4. Osobno rozszerzamy pierwszy ułamek.W mianowniku brakuje (4 − x), dlatego mnożymy przez 4 − x4 − x:
1x + 4 = 1 · (4 − x)(x + 4)(4 − x) = 4 − x(x + 4)(4 − x)
Krok 5. Osobno rozszerzamy drugi ułamek.W mianowniku brakuje (x + 4), dlatego mnożymy przez x + 4x + 4:
54 − x = 5(x + 4)(4 − x)(x + 4)
Krok 6. Dodajemy trzy ułamki o jednakowych mianownikach.3(x + 4)(4 − x)(x + 4)(4 − x) + 4 − x(x + 4)(4 − x) + 5(x + 4)(x + 4)(4 − x)
= 3(x + 4)(4 − x) + (4 − x) + 5(x + 4)(x + 4)(4 − x)
Krok 7. Rozwijamy nawiasy w liczniku.Najpierw mnożymy (x + 4)(4 − x):
(x + 4)(4 − x) = 4x − x² + 16 − 4x = 16 − x²
Podstawiamy do licznika i mnożymy przez 3 oraz 5:
3(16 − x²) + 4 − x + 5x + 20
= 48 − 3x² + 4 − x + 5x + 20
Redukujemy wyrazy podobne: −x + 5x = 4x oraz 48 + 4 + 20 = 72.
= −3x² + 4x + 72
Wynik: −3x² + 4x + 72(x + 4)(4 − x), gdzie D = ℝ ∖ {−4, 4}.
4. Typowe błędy
Błąd 1. Dodawanie mianowników.1x + 1x + 1 ≠ 22x + 1
Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika. Poprawnie:
1x + 1x + 1 = x + 1x(x + 1) + xx(x + 1) = 2x + 1x(x + 1), gdzie x ≠ 0, −1.
Błąd 2. Brak zmiany znaków przy odejmowaniu.7 − (2x + 3) = 7 − 2x − 3 = 4 − 2x
Niepoprawnie byłoby pozostawić +3.
Błąd 3. Zmiana dziedziny po skróceniu.x + 3(x + 3)(x − 1) = 1x − 1
W wyrażeniu początkowym x ≠ −3 i x ≠ 1. Po skróceniu nadal obowiązują oba ograniczenia.
Błąd 4. Skracanie składnika sumy zamiast wspólnego czynnika.x + 2x ≠ 2
Nie można „skreślić x” z x + 2. Skracać można tylko wspólne czynniki całego licznika i mianownika.
5. Zadania z rozwijanymi rozwiązaniami
Najpierw spróbuj wykonać obliczenia samodzielnie. Po kliknięciu „Pokaż rozwiązanie krok po kroku” zobaczysz pełne wyjaśnienie, włącznie z rozkładem na czynniki.
Zadanie 1. Jednakowe mianowniki i skracanie
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
5x − 7x² − 9 + 4 − x − x²x² − 9
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę z mianownika.Mamy x² − 9. To różnica kwadratów, bo 9 = 3². Korzystamy ze wzoru a² − b² = (a − b)(a + b).
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
Zatem (x − 3)(x + 3) ≠ 0, czyli x ≠ 3 i x ≠ −3.
Krok 2. Dodajemy liczniki.Mianowniki są jednakowe, więc zapisujemy jeden wspólny mianownik:
(5x − 7) + (4 − x − x²)x² − 9
Krok 3. Usuwamy nawiasy i łączymy podobne wyrazy.5x − 7 + 4 − x − x² = −x² + 4x − 3
−x² + 4x − 3x² − 9
Krok 4. Sprawdzamy, czy licznik można rozłożyć na czynniki.Mamy trójmian −x² + 4x − 3. Policzymy jego deltę, aby ustalić, skąd biorą się nawiasy.
a = −1, b = 4, c = −3
Δ = b² − 4ac = 4² − 4 · (−1) · (−3) = 16 − 12 = 4
√Δ = 2
x₁ = −4 − 22 · (−1) = −6−2 = 3
x₂ = −4 + 22 · (−1) = −2−2 = 1
Stosujemy wzór a(x − x₁)(x − x₂). Współczynnik a = −1 musi pozostać przed nawiasami.
−x² + 4x − 3 = −(x − 3)(x − 1)
Krok 5. Zapisujemy oba wielomiany w postaci iloczynów.−x² + 4x − 3x² − 9 = −(x − 3)(x − 1)(x − 3)(x + 3)
Krok 6. Skracamy wspólny czynnik.W liczniku i mianowniku jest czynnik (x − 3). Skracamy go, pamiętając, że x ≠ 3.
−(x − 3)(x − 1)(x − 3)(x + 3) = −x − 1x + 3
Wynik: −x − 1x + 3, gdzie D = ℝ ∖ {−3, 3}.
Zadanie 2. Wspólny mianownik i skracanie
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
2x + 1 + x + 5x² − 1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy mianownik i ustalamy dziedzinę.Mianownik x² − 1 jest różnicą kwadratów: x² − 1² = (x − 1)(x + 1).
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
Nie wolno przyjmować x = −1 ani x = 1.
D = ℝ ∖ {−1, 1}
Krok 2. Wybieramy wspólny mianownik.Drugi mianownik ma oba czynniki (x − 1) i (x + 1); to nasz wspólny mianownik.
M = (x − 1)(x + 1)
Krok 3. Rozszerzamy pierwszy ułamek osobno.Pierwszemu ułamkowi brakuje czynnika (x − 1). Mnożymy przez x − 1x − 1:
2x + 1 = 2(x − 1)(x + 1)(x − 1)
Krok 4. Drugi ułamek już ma właściwy mianownik.x + 5x² − 1 = x + 5(x − 1)(x + 1)
Krok 5. Dodajemy liczniki i rozwijamy nawias.2(x − 1) + (x + 5)(x − 1)(x + 1)
2x − 2 + x + 5 = 3x + 3 = 3(x + 1)
Krok 6. Skracamy wspólny czynnik.3(x + 1)(x − 1)(x + 1) = 3x − 1
Skrócenie (x + 1) nie przywraca liczby −1 do dziedziny.
Wynik: 3x − 1, gdzie D = ℝ ∖ {−1, 1}.
Zadanie 3. Odejmowanie i minus przed nawiasem
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
3x² − 4 − 1x + 2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy mianownik pierwszego ułamka.Stosujemy różnicę kwadratów: x² − 4 = x² − 2².
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Krok 2. Wyznaczamy dziedzinę.Pierwszy mianownik nie może być równy zero, czyli x ≠ 2 i x ≠ −2. Drugi daje już uwzględnione x ≠ −2.
D = ℝ ∖ {−2, 2}
Krok 3. Ustalamy wspólny mianownik.M = (x − 2)(x + 2)
Krok 4. Sprowadzamy pierwszy ułamek do wspólnego mianownika.Ten ułamek ma już potrzebny mianownik:
3x² − 4 = 3(x − 2)(x + 2)
Krok 5. Rozszerzamy drugi ułamek.Brakuje czynnika (x − 2). Mnożymy przez x − 2x − 2:
1x + 2 = x − 2(x + 2)(x − 2)
Krok 6. Odejmujemy liczniki i usuwamy nawias.3 − (x − 2)(x − 2)(x + 2)
Minus przed nawiasem zmienia znak x oraz −2:
3 − (x − 2) = 3 − x + 2 = 5 − x
Wynik: 5 − x(x − 2)(x + 2), gdzie D = ℝ ∖ {−2, 2}.
Zadanie 4. Delta — pełne obliczenia
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
1x² + 3x + 2 + 2x + 2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozpoznajemy trójmian.Mianownik x² + 3x + 2 ma postać ax² + bx + c, więc możemy rozłożyć go na czynniki, licząc deltę.
a = 1, b = 3, c = 2
Krok 2. Liczymy deltę.Δ = b² − 4ac = 3² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1
Krok 3. Liczymy oba pierwiastki.Ponieważ √Δ = 1, podstawiamy do wzoru:
x₁ = −3 − 12 · 1 = −42 = −2
x₂ = −3 + 12 · 1 = −22 = −1
Krok 4. Zapisujemy rozkład trójmianu.Wzór to a(x − x₁)(x − x₂). Ponieważ a = 1:
x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)
Krok 5. Wyznaczamy dziedzinę.Żaden z czynników nie może być zerem: x ≠ −2 i x ≠ −1.
D = ℝ ∖ {−2, −1}
Krok 6. Wybieramy wspólny mianownik.M = (x + 2)(x + 1)
Pierwszy ułamek ma już mianownik M. W drugim brakuje (x + 1).
Krok 7. Osobno rozszerzamy drugi ułamek.2x + 2 = 2(x + 1)(x + 2)(x + 1)
Krok 8. Dodajemy liczniki i rozwijamy nawias.1(x + 2)(x + 1) + 2(x + 1)(x + 2)(x + 1)
= 1 + 2(x + 1)(x + 2)(x + 1)
1 + 2(x + 1) = 1 + 2x + 2 = 2x + 3
Wynik: 2x + 3(x + 2)(x + 1), gdzie D = ℝ ∖ {−2, −1}.
Zadanie 5. Trudniejsze — delta i różnica kwadratów
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
xx² − 3x + 2 − 2x² − 1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy pierwszy mianownik za pomocą delty.a = 1, b = −3, c = 2
Δ = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1
x₁ = −(−3) − √12 · 1 = 3 − 12 = 1
x₂ = 3 + 12 = 2
Ze wzoru a(x − x₁)(x − x₂) dostajemy:
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
Krok 2. Rozkładamy drugi mianownik ze wzoru skróconego mnożenia.To różnica kwadratów: x² − 1².
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę.W pierwszym mianowniku nie wolno przyjmować x = 1 i x = 2, a w drugim x = 1 i x = −1.
D = ℝ ∖ {−1, 1, 2}
Krok 4. Ustalamy wspólny mianownik.Zbieramy każdy potrzebny czynnik tylko raz:
M = (x − 1)(x − 2)(x + 1)
Krok 5. Rozszerzamy pierwszy ułamek osobno.Brakuje w nim czynnika (x + 1):
x(x − 1)(x − 2) = x(x + 1)(x − 1)(x − 2)(x + 1)
Krok 6. Rozszerzamy drugi ułamek osobno.Brakuje czynnika (x − 2):
2(x − 1)(x + 1) = 2(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Krok 7. Odejmujemy liczniki.Wspólny mianownik zostaje bez zmian. Drugi licznik zapisujemy w nawiasie, bo przed ułamkiem stoi minus:
x(x + 1) − 2(x − 2)(x − 1)(x − 2)(x + 1)
Krok 8. Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.x(x + 1) − 2(x − 2) = x² + x − 2x + 4
= x² − x + 4
Licznik nie ma wspólnego czynnika z mianownikiem, więc nie skracamy.
Wynik: x² − x + 4(x − 1)(x − 2)(x + 1), gdzie D = ℝ ∖ {−1, 1, 2}.
Zadanie 6. Wielomian i ułamek
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
x − 3 − 2x²x + 5
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ −5.
Krok 2. Zamieniamy x na ułamek.Zapisujemy x jako x1. Aby uzyskać mianownik x + 5, mnożymy licznik i mianownik przez (x + 5).
x = x1 = x(x + 5)x + 5
Krok 3. Zapisujemy oba ułamki z tym samym mianownikiem.x(x + 5)x + 5 − 3 − 2x²x + 5
Krok 4. Odejmujemy całe liczniki.Stawiamy nawias przy drugim liczniku — przed nim jest minus!
x(x + 5) − (3 − 2x²)x + 5
Krok 5. Rozwijamy oba nawiasy.x(x + 5) − (3 − 2x²) = x² + 5x − 3 + 2x²
Łączymy wyrazy x² i 2x²:
= 3x² + 5x − 3
Wynik: 3x² + 5x − 3x + 5, gdzie x ≠ −5.
Zadanie 7. Dla chętnych — kwadrat sumy i skracanie
Wykonaj działanie i podaj dziedzinę.
2x² + 11x + 5x² + 10x + 25 − 2x − 1x + 5
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy pierwszy mianownik.Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: a² + 2ab + b² = (a + b)².
Dla a = x i b = 5 mamy 2ab = 2 · x · 5 = 10x oraz b² = 25.
x² + 10x + 25 = x² + 2 · x · 5 + 5² = (x + 5)²
Ten sam rozkład można otrzymać z delty: Δ = 10² − 4 · 1 · 25 = 0, więc podwójny pierwiastek to x₀ = −5.
Krok 2. Wyznaczamy dziedzinę.Mianownik (x + 5)² nie może być zerem. To samo ograniczenie daje drugi mianownik.
x ≠ −5.
Krok 3. Ustalamy wspólny mianownik.Wspólny mianownik musi zawierać (x + 5) w najwyższej występującej potędze, czyli:
M = (x + 5)²
Krok 4. Przepisujemy pierwszy ułamek.2x² + 11x + 5(x + 5)²
Krok 5. Rozszerzamy drugi ułamek.Brakuje jednego czynnika (x + 5). Mnożymy przez x + 5x + 5:
2x − 1x + 5 = (2x − 1)(x + 5)(x + 5)²
Krok 6. Odejmujemy liczniki.(2x² + 11x + 5) − (2x − 1)(x + 5)(x + 5)²
Krok 7. Mnożymy nawiasy w drugim liczniku.(2x − 1)(x + 5) = 2x² + 10x − x − 5
= 2x² + 9x − 5
Krok 8. Usuwamy nawias po minusie i redukujemy.2x² + 11x + 5 − (2x² + 9x − 5)
= 2x² + 11x + 5 − 2x² − 9x + 5
= 2x + 10
Krok 9. Wyłączamy wspólny czynnik w liczniku i skracamy.Oba wyrazy licznika są podzielne przez 2: 2x + 10 = 2(x + 5).
2x + 10(x + 5)² = 2(x + 5)(x + 5)(x + 5) = 2x + 5
Nadal pamiętamy o wykluczeniu x = −5.
Wynik: 2x + 5, gdzie x ≠ −5.
Zapamiętaj: dziedzina z wyjściowego wyrażenia → rozkład mianowników (wzory albo delta) → wspólny mianownik → osobne rozszerzanie ułamków → działanie na licznikach → ewentualny rozkład i skracanie. Po skróceniu nie wolno przywracać wykluczonych liczb do dziedziny.
