W matematyce nie wystarczy wiedzieć, jak coś policzyć. Trzeba też dokładnie wiedzieć: co oznaczają używane pojęcia, jakie mają własności i dlaczego możemy uznać dane stwierdzenie za prawdziwe.
Najprościej:
Definicja mówi nam, co coś znaczy.
Twierdzenie mówi nam, jaka własność zachodzi.
Dowód pokazuje, dlaczego twierdzenie jest prawdziwe.
Definicja – czyli „co to znaczy?”
Kiedy w matematyce pojawia się nowe pojęcie, musimy dokładnie określić, co ono oznacza. Do tego służy definicja.
Liczbę całkowitą nazywamy parzystą, jeżeli można ją zapisać w postaci:
gdzie k ∈ ℤ.
Dzięki tej definicji możemy sprawdzić, czy konkretna liczba jest parzysta.
Na przykład:
więc 8 jest liczbą parzystą.
Tak samo:
więc −6 również jest liczbą parzystą.
Twierdzenie – czyli „jaka własność zachodzi?”
Twierdzenie nie wyjaśnia znaczenia pojęcia. Mówi nam natomiast, że dane liczby, figury lub działania mają określoną własność.
„Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3.”
Nie wyjaśniamy tutaj, co oznacza podzielność. Stwierdzamy pewną własność: każda liczba podzielna przez 6 jest również podzielna przez 3.
Skąd wiemy, że twierdzenie jest prawdziwe?
Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów.
Załóżmy, że chcemy sprawdzić zdanie:
„Kwadrat każdej liczby parzystej jest liczbą parzystą.”
Możemy policzyć:
Wszystko się zgadza.
Ale sprawdziliśmy tylko trzy liczby, a zdanie mówi o każdej liczbie parzystej.
Ważne: kilka poprawnych przykładów nie jest jeszcze dowodem.
Jeżeli zdanie dotyczy wszystkich liczb danego rodzaju, musimy pokazać, że działa zawsze.
Dowód – czyli „dlaczego to jest prawdą?”
Dowód to logiczne rozumowanie, które pokazuje, że dane twierdzenie jest prawdziwe.
W dowodzie możemy korzystać między innymi z:
• założeń podanych w zadaniu,
• definicji,
• wcześniej poznanych własności i twierdzeń,
• poprawnych przekształceń matematycznych.
Nie chodzi więc o przypadkowe wykonywanie obliczeń. Każdy krok powinien prowadzić nas do tego, co mamy wykazać.
Założenie i teza
Bardzo wiele twierdzeń ma postać:
„Jeżeli…, to…”
Na przykład:
„Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3.”
Takie zdanie możemy podzielić na dwie części.
To informacja, którą przyjmujemy na początku.
W naszym przykładzie:
liczba jest podzielna przez 6.
To informacja, którą mamy udowodnić.
W naszym przykładzie:
liczba jest podzielna przez 3.
Najprościej:
Założenie = co wiem.
Teza = co mam pokazać.
Dowód wprost
Najbardziej naturalnym sposobem dowodzenia jest dowód wprost.
Zaczynamy od tego, co wiemy, wykonujemy kolejne poprawne kroki i dochodzimy do tego, co mieliśmy udowodnić.
Przykład dowodu wprost
Wykażemy:
Jeżeli liczba całkowita n jest parzysta, to n² również jest liczbą parzystą.
Liczba n jest parzysta.
Liczba n² jest parzysta.
Skoro n jest liczbą parzystą, to z definicji liczby parzystej możemy zapisać:
gdzie k ∈ ℤ.
Podnosimy obie strony do kwadratu:
czyli:
Możemy zapisać:
Liczba 2k² jest liczbą całkowitą.
Otrzymaliśmy więc n² w postaci:
czyli w postaci liczby parzystej.
Co właściwie zrobiliśmy?
1. Wiedzieliśmy, że n jest parzyste.
2. Skorzystaliśmy z definicji liczby parzystej i zapisaliśmy n = 2k.
3. Obliczyliśmy n².
4. Pokazaliśmy, że n² również można zapisać jako 2 razy liczba całkowita.
5. Doszliśmy dokładnie do tego, co mieliśmy wykazać.
Jeszcze jeden przykład dowodu wprost
Wykażemy, że jeśli:
to:
Z założenia:
wynika:
Podstawiamy to do wyrażenia x² + y²:
Rozwijamy nawias:
Wyłączamy 2 przed nawias:
Chcemy otrzymać kwadrat wyrażenia, dlatego zapisujemy:
Wykorzystując wzór skróconego mnożenia (a²-2ab+b²)=(a-b)² otrzymujemy:
czyli:
Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:
więc:
Dlatego:
Jak pokazać, że jakieś stwierdzenie jest fałszywe?
Jeżeli zdanie mówi, że coś zachodzi dla każdej liczby, to aby pokazać, że jest fałszywe, wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład.
Rozważmy zdanie:
„Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 2 i przez 6, to jest podzielna przez 12.”
Weźmy liczbę:
18 jest podzielne przez 2.
18 jest również podzielne przez 6.
Ale 18 nie jest podzielne przez 12.
Znaleźliśmy więc kontrprzykład.
Dowód nie wprost
Czasami trudno jest bezpośrednio dojść od założenia do tezy. Wtedy może być wygodniejszy dowód nie wprost.
Zamiast od razu udowadniać tezę, zakładamy na chwilę, że teza jest fałszywa.
Następnie pokazujemy, że takie założenie prowadzi do czegoś niemożliwego – czyli do sprzeczności.
Schemat dowodu nie wprost:
1. Przyjmujemy założenia z zadania.
2. Zakładamy, że teza jest fałszywa.
3. Prowadzimy rozumowanie.
4. Dochodzimy do sprzeczności.
5. Skoro zaprzeczenie tezy doprowadziło do czegoś niemożliwego, to teza musi być prawdziwa.
Co to znaczy „sprzeczność”?
Sprzeczność to sytuacja, w której otrzymujemy coś, co nie może być prawdą.
Na przykład dla liczby rzeczywistej:
jest niemożliwe, ponieważ zawsze:
Sprzecznością byłoby też otrzymanie informacji, że ta sama liczba jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.
Przykład dowodu nie wprost
Udowodnimy:
Jeżeli n² jest liczbą parzystą, to n jest liczbą parzystą.
n² jest liczbą parzystą.
n jest liczbą parzystą.
Załóżmy przeciwnie, że n nie jest parzyste.
Dla liczby całkowitej oznacza to, że n jest nieparzyste.
Możemy więc zapisać:
gdzie k ∈ ℤ.
Podnosimy do kwadratu:
czyli:
Wyłączamy 2:
Otrzymaliśmy liczbę postaci:
czyli liczbę nieparzystą.
Ale z założenia n² miało być liczbą parzystą.
Otrzymaliśmy więc sprzeczność:
Założenie, że n jest nieparzyste, musiało być błędne.
Dowód wprost czy nie wprost?
Zaczynamy od założenia i próbujemy dojść do tezy.
Pytamy:
„Co mogę wywnioskować z tego, co wiem?”
Zakładamy dodatkowo, że teza jest fałszywa.
Pytamy:
„Do czego doprowadzi mnie założenie, że teza nie jest prawdziwa?”
Nie ma jednej zasady mówiącej, który sposób zawsze będzie lepszy.
Jeżeli łatwo można ruszyć od założenia i dojść do tezy, najczęściej wybieramy dowód wprost.
Jeżeli zaprzeczenie tezy szybko prowadzi do czegoś niemożliwego, wygodniejszy może być dowód nie wprost.
Jak zacząć zadanie „Wykaż, że…”?
Jeżeli widzisz zadanie zaczynające się od:
„Wykaż, że…”
nie zaczynaj od przypadkowych obliczeń. Najpierw uporządkuj informacje.
Zastanów się:
Co wiem?
Zastanów się:
Co mam udowodnić?
Może przydać się na przykład:
• definicja liczby parzystej lub nieparzystej,
• definicja podzielności,
• wzory skróconego mnożenia,
• własność:
• wcześniej poznane twierdzenie.
Bardzo ważne: w dowodzie nie chodzi o to, żeby „coś poprzeliczać”.
Każde przekształcenie powinno prowadzić od tego, co wiemy, do tego, co mamy wykazać.
Zapamiętaj
Definicja mówi, co dane pojęcie oznacza.
Twierdzenie mówi, jaką własność ma dany obiekt.
Założenie to to, co wiemy.
Teza to to, co mamy udowodnić.
Dowód wprost:
Dowód nie wprost:
Kontrprzykład wystarczy, aby pokazać, że zdanie mówiące „dla każdego…” jest fałszywe.
Zadania
Zadanie 1
Określ, które z poniższych zdań są definicjami, a które twierdzeniami.
a) Liczbę całkowitą postaci 2k, gdzie k ∈ ℤ, nazywamy liczbą parzystą.
b) Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
c) Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną większą od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne.
d) Kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie
a) Definicja. Zdanie wyjaśnia, co oznacza pojęcie „liczba parzysta”.
b) Twierdzenie. Nie definiujemy tutaj liczby parzystej. Podajemy własność liczb parzystych: ich suma również jest parzysta.
c) Definicja. Zdanie wyjaśnia, co nazywamy liczbą pierwszą.
d) Twierdzenie. Zdanie opisuje własność liczb nieparzystych.
a) definicja
b) twierdzenie
c) definicja
d) twierdzenie
Zadanie 2
Wskaż założenie i tezę.
„Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 10, to jest podzielna przez 5.”
Pokaż rozwiązanie
W zdaniu typu „jeżeli…, to…” część po słowie „jeżeli” jest założeniem.
Część po słowie „to” jest tym, co mamy wykazać, czyli tezą.
Założenie: liczba naturalna jest podzielna przez 10.
Teza: liczba jest podzielna przez 5.
Zadanie 3
Wskaż założenie i tezę:
Pokaż rozwiązanie
Informacja podana na początku jest tym, co możemy przyjąć jako prawdziwe. To nasze założenie.
Nierówność po słowie „to” jest tym, co mamy udowodnić.
Założenie: x + y = 8
Teza: x² + y² ≥ 32
Zadanie 4
Oceń, czy zdanie jest prawdziwe:
„Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 4 i przez 6, to jest podzielna przez 24.”
Jeśli zdanie jest fałszywe, podaj kontrprzykład.
Pokaż rozwiązanie
Żeby pokazać, że takie zdanie jest fałszywe, wystarczy znaleźć jedną liczbę, która spełnia założenie, ale nie spełnia tezy.
Weźmy:
12 jest podzielne przez 4:
Jest również podzielne przez 6:
Ale 12 nie jest podzielne przez 24.
Liczba 12 spełnia więc założenia, ale nie spełnia tezy.
Kontrprzykład: 12.
Zadanie 5
Wykaż, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Pokaż rozwiązanie
Jeżeli dwie liczby są parzyste, możemy zapisać je w postaci:
oraz:
gdzie k i m są liczbami całkowitymi.
Dodajemy te liczby:
Wyłączamy 2 przed nawias:
Ponieważ k i m są całkowite, ich suma k + m również jest liczbą całkowitą.
Otrzymaliśmy więc liczbę postaci 2 · liczba całkowita.
Zadanie 6
Wykaż, że suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
Pokaż rozwiązanie
Liczbę nieparzystą możemy zapisać w postaci:
Niech więc nasze dwie liczby mają postać:
oraz:
Dodajemy je:
Wyłączamy 2:
Wyrażenie k + m + 1 jest liczbą całkowitą.
Otrzymaliśmy więc liczbę postaci 2 razy liczba całkowita.
Zadanie 7
Wykaż, że iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest liczbą parzystą.
Pokaż rozwiązanie
Niech liczba parzysta ma postać:
Niech druga liczba całkowita będzie równa m.
Ich iloczyn to:
czyli:
Ponieważ k i m są liczbami całkowitymi, iloczyn km również jest całkowity.
Otrzymaliśmy liczbę postaci 2 razy liczba całkowita.
Zadanie 8
Wykaż, że kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie
Niech liczba nieparzysta ma postać:
Podnosimy ją do kwadratu:
Rozwijamy wzór:
Wyłączamy 2:
Wyrażenie 2k² + 2k jest liczbą całkowitą.
Otrzymaliśmy więc liczbę postaci:
czyli liczbę nieparzystą.
Zadanie 9
Wykaż, że jeżeli:
to:
Pokaż rozwiązanie
Założenie:
Teza:
Z założenia:
Podstawiamy:
Rozwijamy:
Wyłączamy 2:
Uzupełniamy do kwadratu:
czyli:
Ponieważ:
to:
Zadanie 10
Udowodnij nie wprost:
Jeżeli n² jest liczbą nieparzystą, to n jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie
Założenie: n² jest liczbą nieparzystą.
Teza: n jest liczbą nieparzystą.
W dowodzie nie wprost zakładamy, że teza jest fałszywa.
Załóżmy więc, że n nie jest liczbą nieparzystą, czyli n jest parzyste.
Możemy wtedy zapisać:
Podnosimy do kwadratu:
czyli:
Otrzymaliśmy więc, że n² jest liczbą parzystą.
Ale na początku założyliśmy, że n² jest nieparzyste.
Otrzymaliśmy sprzeczność.