Czworokąty i wielokąty

Czego nauczysz się w tym temacie?

W tym rozdziale poznasz własności czworokątów i wielokątów, nauczysz się obliczać kąty i korzystać z przekątnych, a także rozwiązywać zadania z polami figur i prostymi uzasadnieniami. Odpowiedzi oraz rozwiązania otworzysz dopiero po kliknięciu.

1. Co to jest wielokąt?

Wielokąt to figura płaska ograniczona łamaną zamkniętą, której odcinki nie przecinają się poza wspólnymi końcami sąsiednich boków. Wielokąt ma boki, wierzchołki i kąty wewnętrzne.

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki. Na rysunku odcinek AC jest przekątną, ale odcinek AB nią nie jest, ponieważ stanowi bok.

Zapamiętaj

Trójkąt ma 3 boki, czworokąt – 4, pięciokąt – 5, sześciokąt – 6, a ośmiokąt – 8. Obwód każdego wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Czworokąt jest szczególnym wielokątem: ma cztery boki, cztery wierzchołki, cztery kąty wewnętrzne i dwie przekątne. Suma jego kątów wewnętrznych wynosi zawsze 360°.

Ile przekątnych ma wielokąt?

W wielokącie o n bokach liczbę przekątnych obliczysz ze wzoru:

d = \frac{n (n - 3)}{2}

Dlaczego dzielimy przez 2? Każda przekątna zostałaby policzona dwukrotnie – raz od każdego z dwóch końców. Czworokąt ma zatem 2 przekątne, pięciokąt – 5, a sześciokąt – 9.

Czworokąt wypukły czy wklęsły?

Czworokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od 180°. W czworokącie wklęsłym jeden kąt wewnętrzny jest większy od 180° – figura ma wyraźne „wcięcie”.

Wypukły
Brak kąta większego od 180°.

Wklęsły
Jeden kąt wewnętrzny większy od 180°.

Dwie ważne własności

Wypukły i wklęsły czworokąt mają po 2 przekątne, a suma ich czterech kątów wewnętrznych wynosi 360°. Przekątna czworokąta wklęsłego może częściowo przebiegać poza figurą.

2. Rodzaje czworokątów i ich własności

Na egzaminie najważniejsze są: kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb , trapez oraz deltoid. Zwracaj uwagę nie tylko na wygląd figury, lecz przede wszystkim na równość boków, równoległość i kąty.

Klasyfikacja czworokątów wypukłych

Niektóre czworokąty są szczególnymi przypadkami innych. Spójrz na schemat: jeśli nazwa jednej figury znajduje się wewnątrz większego obszaru, to ta figura należy także do grupy oznaczonej większym obszarem.

Na mniejszym ekranie możesz przesunąć schemat w bok, aby obejrzeć go w całości.

Każdy kwadrat jest prostokątem – ma cztery kąty proste.

Każdy kwadrat jest rombem – ma cztery boki równej długości.

Każdy prostokąt i każdy romb jest równoległobokiem – ma dwie pary boków równoległych.

Każdy równoległobok jest trapezem – ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Zapamiętaj na egzamin

Zależności działają w jedną stronę: każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Podobnie nie każdy trapez jest równoległobokiem.

Ważne: schemat stosuje definicję trapezu jako czworokąta mającego co najmniej jedną parę boków równoległych. Niektóre podręczniki używają definicji „dokładnie jedna para” – wtedy równoległoboków nie zalicza się do trapezów. Przed rozwiązaniem zadania sprawdź przyjętą definicję. Schemat dotyczy czworokątów wypukłych; istnieją również czworokąty wklęsłe.

Kwadrat

Boki: wszystkie cztery mają jednakową długość. Boki przeciwległe są równoległe.
Kąty: każdy z czterech kątów ma 90°, zatem ich suma wynosi 360°.
Przekątne: ma dokładnie dwie. Są równej długości, prostopadłe (przecinają się pod kątem 90°) i dzielą się wzajemnie na połowy.
Każda przekątna dzieli dwa kąty kwadratu na połowy, czyli na kąty po 45°.
Przekątne dzielą kwadrat na cztery trójkąty prostokątne równoramienne o równych polach.
Symetria: ma 4 osie symetrii – dwie przekątne oraz proste przechodzące przez środki przeciwległych boków. Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii.

Pole

P = a^{2}

Obwód

O = 4 a

Przekątna

d = a \sqrt{2}

Pole z przekątnej

P = \frac{d^{2}}{2}

a – długość boku. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, np. cm², a obwód w cm.

Kwadrat jest jednocześnie prostokątem, rombem i równoległobokiem.

d – długość przekątnej kwadratu. Drugi wzór na pole przydaje się, kiedy w zadaniu podana jest wyłącznie przekątna.

Prostokąt

Boki: przeciwległe są równe i równoległe; sąsiednie nie muszą być jednakowej długości.
Kąty: wszystkie cztery mają 90°.
Przekątne: są równej długości i dzielą się wzajemnie na połowy. Nie muszą być prostopadłe ani dzielić kątów przy wierzchołkach na połowy.
Prostokąt ma dwie osie symetrii przechodzące przez środki przeciwległych boków; kwadrat ma ich cztery.
Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii prostokąta i środkiem okręgu przechodzącego przez jego cztery wierzchołki.

Pole

P = a \cdot b

Obwód

O = 2 (a + b)

Przekątna (Pitagoras)

d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

a, b – długości dwóch sąsiednich boków. Pole to iloczyn tych długości.

Jeśli sąsiednie boki prostokąta są równe, otrzymujemy kwadrat.

d – długość przekątnej. Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne.

Równoległobok

Boki: ma dwie pary boków równoległych; przeciwległe boki są też równej długości.
Kąty: przeciwległe są równe, a dwa sąsiednie sumują się do 180°.
Przekątne: przecinają się w połowie każdej z nich. Nie muszą być równe ani prostopadłe.
Wysokość: to odcinek prostopadły do wybranej podstawy (albo jej przedłużenia); nie należy mylić jej z ukośnym bokiem.
Środek symetrii: punkt przecięcia przekątnych; po obrocie figury o 180° wokół tego punktu równoległobok pokrywa się z samym sobą.

Pole

P = a \cdot h_{a}

Obwód

O = 2 (a + b)

a, b – długości sąsiednich boków; h_a – wysokość opuszczona na bok a.

Prostokąt, romb i kwadrat są szczególnymi równoległobokami.

Romb

Boki: wszystkie cztery są równej długości; przeciwległe są równoległe.
Kąty: przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180°. Kąty nie muszą mieć 90°.
Przekątne: są prostopadłe, dzielą się wzajemnie na połowy i dzielą kąty rombu na połowy.
Przekątne zazwyczaj nie są równej długości; mają taką samą długość w kwadracie.
Romb ma dwie osie symetrii – proste zawierające jego przekątne.
Symetria: ma 2 osie symetrii – obie proste zawierające przekątne. Punkt ich przecięcia jest również środkiem symetrii rombu.

Pole – z boku i wysokości

P = a \cdot h

Pole – z przekątnych

P = \frac{e \cdot f}{2}

Obwód

O = 4 a

a – bok, h – wysokość do tego boku, e, f – długości dwóch przekątnych.

Kwadrat jest szczególnym rombem; jego przekątne są dodatkowo równe.

Deltoid

Boki: ma dwie pary sąsiednich boków równych: AB = AD oraz BC = CD.
Przekątne: przecinają się pod kątem prostym. Przekątna AC, która jest osią symetrii, dzieli przekątną BD na połowy; przekątna BD nie musi dzielić AC na połowy.
Kąty: dwa kąty znajdujące się między bokami o różnych długościach (przy B i D) są równe.
Symetria: deltoid niebędący rombem ma jedną oś symetrii. Romb to szczególny przypadek deltoidu i ma dwie osie.

Pole z przekątnych

P = \frac{e \cdot f}{2}

Obwód

O = 2 (a + b)

a, b – długości obu rodzajów sąsiednich boków; e, f – długości przekątnych. Zapis literowy przekątnych może się różnić między podręcznikami.

Co odróżnia go od rombu? Na rysunku krótsze są oba górne boki (a), a dłuższe – oba dolne (b). Przekątna AC jest osią symetrii, ale punkt S nie jest środkiem AC. W rombie wszystkie cztery boki są równe, a obie przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.

Trapez

Boki: ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Zaznaczone na rysunku boki a i b to podstawy, pozostałe dwa to ramiona.
Kąty: kąty wewnętrzne leżące przy tym samym ramieniu sumują się do 180°.
Przekątne: każdy trapez ma dwie. W zwykłym trapezie nie muszą być równe, prostopadłe ani dzielić się na połowy.
Wysokość: jest prostopadłą odległością między prostymi zawierającymi podstawy.

Pole

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Obwód

O = a + b + c + d

a, b – podstawy, c, d – ramiona, h – wysokość. Wzór na pole to połowa iloczynu sumy podstaw i wysokości.

Uwaga na definicję: niektóre podręczniki przyjmują „dokładnie jedną parę boków równoległych”. W tej lekcji stosujemy definicję „co najmniej jedną”.

Trapez równoramienny

Ramiona: mają równe długości, a podstawy są równoległe.
Kąty: dwa kąty przy dolnej podstawie są równe; podobnie dwa przy górnej. Kąty przy jednym ramieniu sumują się do 180°.
Przekątne: są równej długości, ale zwykle nie są prostopadłe i nie dzielą się na połowy.
Ma oś symetrii prostopadłą do podstaw, przechodzącą przez ich środki.
Wysokości: po opuszczeniu prostopadłych z końców krótszej podstawy na dłuższą powstają po bokach dwa trójkąty prostokątne o jednakowych przyprostokątnych.

Pole

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Obwód

O = a + b + 2 c

a, b – podstawy, c – długość każdego z równych ramion, h – wysokość.

Trapez prostokątny

Boki: podstawy są równoległe, a jedno ramię jest do nich prostopadłe.
Kąty: ma dokładnie dwa kąty proste (w niedegenerowanym trapezie z jedną parą boków równoległych); dwa pozostałe sumują się do 180°.
Wysokość: jej długość jest równa długości ramienia prostopadłego do podstaw.
Przekątne: nie mają dodatkowej ogólnej własności równości czy prostopadłości.
Przydatna zależność: gdy podstawy mają różne długości, ukośne ramię wraz z wysokością i różnicą długości podstaw tworzy trójkąt prostokątny. Ułatwia to użycie twierdzenia Pitagorasa.

Pole

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Obwód

O = a + b + c + h

a, b – podstawy, c – ukośne ramię, h – wysokość i długość prostopadłego ramienia.

Osie symetrii czworokątów – porównanie

Oś symetrii dzieli figurę na dwie części, które po złożeniu wzdłuż tej osi pokryłyby się. Nie myl osi symetrii z środkiem symetrii (punktem, wokół którego można obrócić figurę o 180°).

Figura	Liczba osi symetrii	Uwaga
Kwadrat	4	Dwie przekątne i dwie proste przez środki boków
Prostokąt niebędący kwadratem	2	Proste przez środki przeciwległych boków
Romb niebędący kwadratem	2	Proste zawierające przekątne
Równoległobok, który nie jest ani rombem, ani prostokątem	0	Ma środek symetrii, ale nie ma osi
Trapez równoramienny o nierównych podstawach	1	Prosta prostopadła do podstaw przez ich środki
Deltoid niebędący rombem	1	Prosta zawierająca przekątną łączącą wierzchołki styku równych boków

Uściślenia przy nazwach są ważne: kwadrat jest przecież także prostokątem i rombem, ale ma więcej osi symetrii niż ich niespecjalne przypadki.

Odcinek środkowy trapezu

Rozszerzenie: przydatne w trudniejszych zadaniach. Na egzaminie najważniejsze jest rozumienie rysunku i umiejętność zastosowania poznanych własności.

Połącz środki obu ramion trapezu. Otrzymany odcinek jest równoległy do obu podstaw, a jego długość równa się średniej arytmetycznej długości podstaw.

Dodatkowe wzory

Długość odcinka środkowego

m = \frac{a + b}{2}

Pole trapezu

P = m \cdot h

a, b – podstawy; m – odcinek środkowy; h – wysokość.

Dzięki temu wzór na pole trapezu można odczytać jako: długość odcinka środkowego × wysokość.

Nie myl odcinka środkowego trapezu z jego przekątną – łączy środki ramion, a nie wierzchołki.

Jak zapamiętać zależności między figurami?

Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem. Każdy prostokąt i każdy romb jest równoległobokiem. Nie każdy prostokąt jest kwadratem, nie każdy romb jest kwadratem. Gdy trapez rozumiemy jako czworokąt z co najmniej jedną parą boków równoległych, każdy równoległobok jest również trapezem.

3. Porównanie najważniejszych własności

Poniższa tabela opisuje własności, które są zawsze prawdziwe dla danej figury. „Nie zawsze” oznacza, że szczególny przypadek może spełniać daną własność.

Własność	Kwadrat	Prostokąt	Romb	Deltoid	Równoległobok	Trapez
Wszystkie boki równe	Tak	Nie zawsze	Tak	Nie zawsze	Nie zawsze	Nie zawsze
Wszystkie kąty 90°	Tak	Tak	Nie zawsze	Nie zawsze	Nie zawsze	Nie zawsze
Dwie pary boków równoległych	Tak	Tak	Tak	Nie zawsze	Tak	Nie zawsze
Przekątne równe	Tak	Tak	Nie zawsze	Nie zawsze	Nie zawsze	Nie zawsze
Przekątne prostopadłe	Tak	Nie zawsze	Tak	Tak	Nie zawsze	Nie zawsze
Przekątne dzielą się na połowy	Tak	Tak	Tak	Nie zawsze	Tak	Nie zawsze

Uwaga na egzaminie!

Nie myl dwóch zdań: „przekątne są równe” i „przekątne dzielą się na połowy”. W równoległoboku każde z dwóch przekątnych jest przecięte przez drugą w swoim środku, ale przekątne mogą mieć różne długości.

4. Kąty w czworokątach i wielokątach

Dlaczego suma kątów czworokąta wynosi 360°?

Dowolny czworokąt wypukły można podzielić przekątną na dwa trójkąty. W każdym trójkącie suma kątów wynosi 180°, zatem:

180° + 180° = 360°

Gdy znasz trzy kąty czworokąta, czwarty obliczasz, odejmując ich sumę od 360°.

α + β + γ + δ = 360°

Suma kątów w dowolnym wielokącie

Wielokąt wypukły o n bokach można podzielić na n − 2 trójkąty. Dlatego suma jego kątów wewnętrznych wynosi:

S = (n − 2) · 180°

Figura	Liczba boków n	Suma kątów S
Trójkąt	3	180°
Czworokąt	4	360°
Pięciokąt	5	540°
Sześciokąt	6	720°
Ośmiokąt	8	1080°

Wzór dotyczy zwykłych (nieprzecinających się) wielokątów, także wklęsłych.

5. Wielokąty foremne

Wielokąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary. Sam warunek równych boków nie wystarcza – przykładowo zwykły romb nie jest wielokątem foremnym, jeśli nie jest kwadratem.

Jeśli wielokąt foremny ma n boków, to każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

α = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n}

Jego obwód obliczamy łatwo, ponieważ wszystkie boki są równe:

Obwód = n · a

gdzie a oznacza długość jednego boku.

Sześciokąt foremny – własności, które ułatwiają zadania

Rozszerzenie: przydatne w trudniejszych zadaniach. Na egzaminie najważniejsze jest rozumienie rysunku i umiejętność zastosowania poznanych własności.

Po połączeniu środka sześciokąta foremnego ze wszystkimi wierzchołkami otrzymasz 6 przystających trójkątów równobocznych. Dlatego wiele długości można obliczyć bez nowych wzorów, korzystając z własności trójkąta równobocznego.

Oznaczenia

a – bok; R – promień okręgu opisanego; r – promień okręgu wpisanego; d_k i d_d – krótsza i dłuższa przekątna.

Obwód

O = 6 a

Pole

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}

Promienie

R = a

Promień wpisany

r = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Dłuższa przekątna

d_{d} = 2 a

Krótsza przekątna

d_{k} = a \sqrt{3}

Skąd bierze się pole?

Każdy z sześciu trójkątów ma pole $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Pole sześciokąta to sześć takich pól. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego wynosi 120°.

Przydatne wartości

Trójkąt równoboczny: 60°; kwadrat: 90°; pięciokąt foremny: 108°; sześciokąt foremny: 120°; ośmiokąt foremny: 135°.

6. Pola figur – zestaw wzorów

Najważniejsze wzory na pola figur w jednym miejscu. Ich zastosowania zostały omówione wcześniej przy poszczególnych czworokątach.

Kwadrat

P = a^{2}

Prostokąt

P = a \cdot b

Równoległobok

P = a \cdot h_{a}

Romb

P = a \cdot h = \frac{e \cdot f}{2}

Trapez

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Deltoid

P = \frac{e \cdot f}{2}

Oznaczenia: a, b – boki lub podstawy; h, hₐ – odpowiednie wysokości; e, f – długości przekątnych.

7. Przykłady krok po kroku

Rozwiąż przykład samodzielnie, a następnie kliknij „Pokaż rozwiązanie krok po kroku”, aby sprawdzić obliczenia i wynik.

Na egzaminie w 2027 roku ważne jest nie tylko podstawienie do wzoru. Trzeba też umieć podzielić nietypową figurę na znane części, obliczyć pole przez odjęcie wyciętego fragmentu, zamienić jednostki i krótko uzasadnić wniosek.

PRZYKŁAD 1 · KĄTY CZWOROKĄTA

Oblicz czwarty kąt czworokąta

Trzy kąty czworokąta mają miary: 75°, 110° i 95°. Ile wynosi czwarty kąt?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Przypomnij sobie: suma kątów czworokąta to 360°.
Dodaj znane kąty: 75° + 110° + 95° = 280°.
Odejmij je od 360°: 360° − 280° = 80°.

Odpowiedź: czwarty kąt ma 80°.

PRZYKŁAD 2 · RÓWNOLEGŁOBOK

Kąty sąsiednie i przeciwległe

Jeden kąt równoległoboku ma 68°. Oblicz pozostałe trzy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Kąt przeciwległy ma taką samą miarę: 68°.
Każdy kąt sąsiedni daje z nim 180°, więc 180° − 68° = 112°.
Drugi kąt sąsiedni również ma 112°.

Odpowiedź: 68°, 112°, 68°, 112°.

PRZYKŁAD 3 · TRAPEZ

Kąty przy jednym ramieniu

W trapezie kąt przy dolnej podstawie i lewym ramieniu ma 73°. Oblicz kąt przy górnej podstawie i tym samym ramieniu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Podstawy trapezu są równoległe.
Kąty przy jednym ramieniu sumują się do 180°.
180° − 73° = 107°.

Odpowiedź: 107°.

PRZYKŁAD 4 · WIELOKĄT FOREMNY

Oblicz kąt sześciokąta foremnego

Jaką miarę ma jeden kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Sześciokąt ma n = 6 boków.
Suma kątów: (6 − 2) · 180° = 720°.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty są równe: 720° : 6 = 120°.

Odpowiedź: każdy kąt ma 120°.

PRZYKŁAD 5 · PRZEKĄTNE PROSTOKĄTA

Odcinki powstałe z przecięcia przekątnych

Przekątne prostokąta ABCD przecinają się w punkcie O. Wiadomo, że AO = 7 cm. Ile wynosi przekątna BD?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc AC = 2 · AO = 14 cm.
Przekątne prostokąta są równej długości, więc BD = AC.

Odpowiedź: BD = 14 cm.

PRZYKŁAD 6 · POLE TRAPEZU

Oblicz pole z podstaw i wysokości

Podstawy trapezu mają 8 cm i 14 cm, a jego wysokość wynosi 5 cm. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Podstaw do wzoru na pole trapezu: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ .
Wstaw dane i oblicz: $P = \frac{(8 + 14) \cdot 5}{2} = 55 {cm}^{2}$ .

Odpowiedź: pole wynosi 55 cm².

PRZYKŁAD 7 · PRAWDA CZY FAŁSZ?

Oceń zdania i uzasadnij

Przeczytaj zdania i zdecyduj, czy każde z nich jest prawdziwe, czy fałszywe.

Każdy romb jest równoległobokiem.
Przekątne każdego prostokąta przecinają się pod kątem prostym.
Każdy kwadrat jest wielokątem foremnym.
Każdy trapez równoramienny ma cztery kąty równe.

Pokaż odpowiedzi i uzasadnieniaUkryj odpowiedzi i uzasadnienia

Prawda – romb ma dwie pary boków równoległych.
Fałsz – tak jest w kwadracie, ale nie w każdym prostokącie.
Prawda – kwadrat ma równe boki i wszystkie kąty równe 90°.
Fałsz – kąty przy jednej podstawie są równe, ale kąty przy ramieniu nie muszą być równe.

W zadaniach P/F szukaj własności, która musi zachodzić zawsze, a nie tylko na jednym rysunku.

PRZYKŁAD 8 · ODCINEK ŚRODKOWY TRAPEZU

Pole trapezu bez podstaw

W trapezie podstawy mają długości 9 cm i 17 cm, a wysokość wynosi 8 cm. Oblicz pole, korzystając z odcinka środkowego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Wyznacz długość odcinka środkowego: $m = \frac{9 + 17}{2} = 13$ cm.
Pomnóż ją przez wysokość: P = m · h = 13 · 8 = 104 cm².

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 104 cm².

PRZYKŁAD 9 · DELTOID

Pole deltoidu z przekątnych

Przekątne deltoidu mają długości 14 cm i 18 cm. Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Skorzystaj ze wzoru na pole deltoidu: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ .
Podstaw długości i oblicz: $P = \frac{14 \cdot 18}{2} = 126$ cm².

Odpowiedź: Pole deltoidu wynosi 126 cm².

PRZYKŁAD 10 · SZEŚCIOKĄT FOREMNY

Od przekątnej do obwodu

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma 18 cm. Oblicz długość jego boku i obwód.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość dwóch boków: 2a = 18 cm, więc a = 9 cm.
Sześciokąt ma sześć równych boków: O = 6 · 9 = 54 cm.

Odpowiedź: Bok ma 9 cm, a obwód 54 cm.

PRZYKŁAD 11 · FIGURA ZŁOŻONA

Pole figury w kształcie litery L

Z prostokąta o wymiarach 12 cm × 8 cm wycięto przy narożniku mniejszy prostokąt o wymiarach 5 cm × 3 cm. Oblicz pole pozostałej figury.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Pole dużego prostokąta: 12 · 8 = 96 cm².
Pole wyciętego prostokąta: 5 · 3 = 15 cm².
Odejmujemy: 96 − 15 = 81 cm².

Odpowiedź: pole pozostałej figury wynosi 81 cm².

PRZYKŁAD 12 · JEDNOSTKI I POLE

Najpierw sprowadź długości do jednej jednostki

Równoległobok ma podstawę długości 2,5 m i wysokość 180 cm. Oblicz jego pole w metrach kwadratowych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Zamieniamy centymetry na metry: 180 cm = 1,8 m.
Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku: P = a · h = 2,5 · 1,8.
Obliczamy: P = 4,5 m².

Odpowiedź: 4,5 m². Nie wolno mnożyć bezpośrednio 2,5 m przez 180 cm bez ustalenia jednostek wyniku.

8. Zadania do samodzielnego rozwiązania

Spróbuj najpierw samodzielnie. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia i uzasadnienie. Kliknij „Pokaż odpowiedź i rozwiązanie” pod wybranym zadaniem, aby sprawdzić wynik i sposób obliczeń.

PodstawoweW czworokącie trzy kąty mają miary: 90°, 105° i 80°. Oblicz czwarty kąt.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
85°. 360° − (90° + 105° + 80°) = 85°.
PodstawoweRównoległobok ma jeden kąt o mierze 47°. Oblicz miary wszystkich jego kątów.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
47°, 133°, 47°, 133°. Kąty sąsiednie: 180° − 47° = 133°.
PodstawoweW trapezie kąt przy jednym ramieniu ma 118°. Ile wynosi drugi kąt przy tym samym ramieniu?

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
62°. 180° − 118° = 62°.
PodstawoweOblicz obwód rombu, którego bok ma długość 6,5 cm.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
26 cm. 4 · 6,5 cm = 26 cm.
ŚredniePrzekątne prostokąta przecinają się w punkcie O. Odcinek AO ma 9 cm. Ile wynosi długość przekątnej BD?

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
18 cm. AC = 2 · AO = 18 cm, a BD = AC.
ŚrednieOblicz sumę kątów wewnętrznych siedmiokąta.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
900°. (7 − 2) · 180° = 900°.
ŚrednieKażdy bok ośmiokąta foremnego ma długość 4,5 cm. Oblicz jego obwód.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
36 cm. 8 · 4,5 cm = 36 cm.
ŚrednieOblicz miarę jednego kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
108°. [(5 − 2) · 180°] : 5 = 108°.
EgzaminacyjneW równoległoboku jeden kąt jest o 40° większy od kąta sąsiedniego. Oblicz miary wszystkich kątów.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
70°, 110°, 70°, 110°. Mniejszy kąt x, większy x + 40°. x + x + 40° = 180°, więc 2x = 140° i x = 70°.
EgzaminacyjneW trapezie równoramiennym jeden kąt przy dłuższej podstawie ma 65°. Oblicz miary pozostałych trzech kątów.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
65°, 115°, 115° – to pozostałe kąty. Przy tej samej podstawie kąty są równe, a przy ramieniu sumują się do 180°.
EgzaminacyjneTrapez ma pole 60 cm², wysokość 6 cm, a jedna z podstaw ma 8 cm. Oblicz długość drugiej podstawy.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
12 cm. Zapisujemy równanie: $60 = \frac{(8 + b) \cdot 6}{2}$ . Stąd 60 = 3(8 + b), czyli 20 = 8 + b, więc b = 12 cm.
EgzaminacyjneProstokąt ma obwód 38 cm. Jego dłuższy bok jest o 5 cm dłuższy od krótszego. Oblicz długości boków i pole prostokąta.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
7 cm i 12 cm; pole 84 cm². Jeśli krótszy bok to x, dłuższy x + 5, to 2x + 2(x + 5) = 38, więc 4x = 28, x = 7. Drugi bok 12, a pole 7 · 12 = 84 cm².
Rozumienie figurCzworokąt ma jeden kąt wewnętrzny o mierze 204°. Czy może być wypukły? Wyjaśnij.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Nie. W każdym czworokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od 180°.
2. Ponieważ 204° > 180°, opisana figura jest wklęsła.
PodstawoweW deltoidzie dwa sąsiednie boki mają po 8 cm, a dwa pozostałe po 13 cm. Oblicz jego obwód.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. W deltoidzie występują dwie pary sąsiednich boków równej długości.
2. O = 2 · 8 + 2 · 13 = 16 + 26 = 42 cm.
ŚredniePrzekątne deltoidu mają długości 9 cm i 20 cm. Oblicz jego pole.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Pole deltoidu: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ .
2. $P = \frac{9 \cdot 20}{2} = 90$ cm².
EgzaminacyjneOdcinek środkowy trapezu ma 16 cm. Jedna podstawa ma 11 cm, a wysokość trapezu wynosi 7 cm. Oblicz długość drugiej podstawy i pole.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Długość odcinka środkowego: $16 = \frac{11 + b}{2}$ .
2. 32 = 11 + b, zatem b = 21 cm.
3. Pole: P = m · h = 16 · 7 = 112 cm².
EgzaminacyjneTrapez równoramienny ma podstawy 26 cm i 10 cm oraz wysokość 15 cm. Oblicz długość ramienia i obwód.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Po opuszczeniu wysokości z obu końców krótszej podstawy otrzymujemy dwa jednakowe trójkąty prostokątne.
2. Pozioma przyprostokątna: $\frac{26 - 10}{2} = 8$ cm.
3. Z twierdzenia Pitagorasa: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, więc c = 17 cm.
4. Obwód: O = 26 + 10 + 2 · 17 = 70 cm.
EgzaminacyjneTrapez prostokątny ma podstawy 22 cm i 10 cm oraz wysokość 5 cm. Oblicz jego obwód.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Jedno ramię ma długość równą wysokości: 5 cm.
2. Drugie ramię jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 22 − 10 = 12 cm i 5 cm.
3. c² = 12² + 5² = 169, zatem c = 13 cm.
4. Obwód: O = 22 + 10 + 5 + 13 = 50 cm.
EgzaminacyjnePrzekątna prostokąta ma 25 cm, a krótszy bok 7 cm. Oblicz długość drugiego boku, pole i obwód prostokąta.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Z twierdzenia Pitagorasa: b² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576.
2. b = 24 cm.
3. Pole: P = 7 · 24 = 168 cm².
4. Obwód: O = 2(7 + 24) = 62 cm.
ŚredniePrzekątna kwadratu ma długość 18 cm. Oblicz pole kwadratu, bez wyznaczania długości jego boku.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Ze wzoru na pole kwadratu z przekątnej: $P = \frac{d^{2}}{2}$ .
2. $P = \frac{18^{2}}{2} = 162$ cm².
EgzaminacyjnePromień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym wynosi 5 cm. Oblicz obwód sześciokąta i długość jego dłuższej przekątnej.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy bokowi: a = R = 5 cm.
2. Obwód: O = 6a = 6 · 5 = 30 cm.
3. Dłuższa przekątna: d = 2a = 10 cm.
ŚrednieSuma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wypukłego wynosi 1260°. Ile ma boków i ile przekątnych?
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Użyj wzoru: (n − 2) · 180° = 1260°.
2. n − 2 = 7, więc wielokąt ma 9 boków.
3. Liczba przekątnych: $d = \frac{n (n - 3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$ .
Rozumienie figurPodaj liczbę osi symetrii każdej figury: a) prostokąta niebędącego kwadratem, b) równoległoboku niebędącego rombem ani prostokątem, c) trapezu równoramiennego o nierównych podstawach, d) deltoidu niebędącego rombem.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. a) 2 – proste przez środki przeciwległych boków.
2. b) 0 – taka figura ma środek symetrii, ale nie ma osi.
3. c) 1 – symetralna obu podstaw.
4. d) 1 – prosta zawierająca przekątną będącą osią symetrii.
Figury złożone
Prostokątny plakat ma wymiary 18 cm i 12 cm. W jego narożniku wycięto prostokąt o bokach 6 cm i 4 cm. Oblicz pole pozostałego plakatu.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Pole plakatu przed wycięciem: 18 · 12 = 216 cm².
2. Pole wyciętej części: 6 · 4 = 24 cm².
3. Pozostałe pole: 216 − 24 = 192 cm².
Odpowiedź: 192 cm².
Jednostki
Trapez ma podstawy długości 1,4 m i 90 cm, a jego wysokość wynosi 40 cm. Oblicz pole trapezu w m².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Zamieniamy długości: 90 cm = 0,9 m i 40 cm = 0,4 m.
2. Sumujemy podstawy: 1,4 + 0,9 = 2,3 m.
3. P = [(1,4 + 0,9) · 0,4] / 2 = 0,46 m².
Odpowiedź: 0,46 m².
Uzasadnianie
Uczeń twierdzi: „Jeżeli przekątne czworokąta są prostopadłe, to czworokąt na pewno jest rombem”. Czy ma rację? Uzasadnij odpowiedź, podając kontrprzykład.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Nie wystarczy znać prostopadłość przekątnych, aby rozpoznać romb.
2. W deltoidzie, który nie jest rombem, przekątne również są prostopadłe, a wszystkie cztery boki nie są jednakowej długości.
Odpowiedź: nie, przykład takiego czworokąta to deltoid niebędący rombem.
Przekątna i pole
Prostokąt ma boki 14 cm i 10 cm. Przekątna podzieliła go na dwa trójkąty. Oblicz pole każdego z nich i wyjaśnij, dlaczego wyniki są równe.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanieUkryj odpowiedź i rozwiązanie
1. Pole prostokąta: 14 · 10 = 140 cm².
2. Przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, zatem każdy zajmuje połowę pola.
3. 140 : 2 = 70 cm².
Odpowiedź: każdy trójkąt ma pole 70 cm².

9. Najczęstsze błędy – sprawdź przed egzaminem

Kwadrat i romb: romb nie musi mieć kątów prostych, ale kwadrat zawsze je ma.
Prostokąt i przekątne: przekątne są równe i przecinają się w połowie, lecz nie muszą być prostopadłe.
Równoległobok i kąty: przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180°.
Trapez: wysokość jest prostopadła do podstaw; nie zastępuj jej długością ramienia.
Wielokąt foremny: musi mieć zarówno wszystkie boki równe, jak i wszystkie kąty równe.
Jednostki: obwód podawaj w cm, m itd., a pole w cm², m² itd.
Deltoid: tylko jedna z przekątnych musi dzielić drugą na połowy; obie są prostopadłe.
Odcinek środkowy trapezu: jego długość to średnia podstaw, a nie ich suma.
Czworokąt wklęsły: ma nadal dwie przekątne i sumę kątów 360°.

Materiał przygotowany do samodzielnej powtórki. Zadania i przykłady są autorskie. Rysunki mają charakter schematyczny; do obliczeń korzystaj z danych podanych w treści, nie z pomiarów na ekranie.

Czego nauczysz się w tym temacie?

1. Co to jest wielokąt?

Czworokąt wypukły czy wklęsły?

2. Rodzaje czworokątów i ich własności

Klasyfikacja czworokątów wypukłych

Kwadrat

Prostokąt

Równoległobok

Romb

Deltoid

Trapez

Trapez równoramienny

Trapez prostokątny

Osie symetrii czworokątów – porównanie

Odcinek środkowy trapezu

3. Porównanie najważniejszych własności

4. Kąty w czworokątach i wielokątach

Dlaczego suma kątów czworokąta wynosi 360°?

Suma kątów w dowolnym wielokącie

5. Wielokąty foremne

Sześciokąt foremny – własności, które ułatwiają zadania

6. Pola figur – zestaw wzorów

7. Przykłady krok po kroku

Oblicz czwarty kąt czworokąta

Kąty sąsiednie i przeciwległe

Kąty przy jednym ramieniu

Oblicz kąt sześciokąta foremnego

Odcinki powstałe z przecięcia przekątnych

Oblicz pole z podstaw i wysokości

Oceń zdania i uzasadnij

Pole trapezu bez podstaw

Pole deltoidu z przekątnych

Od przekątnej do obwodu

Pole figury w kształcie litery L

Najpierw sprowadź długości do jednej jednostki

8. Zadania do samodzielnego rozwiązania

9. Najczęstsze błędy – sprawdź przed egzaminem

Szybki quiz na koniec

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?