Powtórzenie: koło, okrąg, łuk i wycinek
Zanim przejdziemy do kątów w okręgu, przypomnijmy sobie wzory z wcześniejszych tematów. Przydadzą się szczególnie wtedy, gdy znamy długość łuku albo pole wycinka i trzeba wyznaczyć kąt środkowy.
1. Promień, średnica i obwód
d = 2r
L = 2πr = πd
r – promień, d – średnica, L – długość okręgu (obwód koła).
2. Pole koła
P = πr2
Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, np. cm2, a długość – w cm.
3. Długość łuku
ℓ = α360° · 2πr
ℓ to długość łuku, a α – miara odpowiadającego mu kąta środkowego. Łuk stanowi taką część obwodu, jaką α stanowi z 360°.
4. Pole wycinka koła
Pw = α360° · πr2
Pw = ℓ · r2
Drugi wzór jest wygodny, gdy znamy długość łuku ℓ i promień r.
5. Kąt środkowy z długości łuku
α = ℓ2πr · 360°
Najpierw obliczamy cały obwód 2πr, a następnie sprawdzamy, jaką jego częścią jest dany łuk.
6. Odcinek koła
Podc = Pw − Ptrójkąta
Dla mniejszego odcinka wyznaczonego łukiem o kącie środkowym mniejszym niż 180° odejmujemy pole trójkąta utworzonego przez dwa promienie i cięciwę.
Jak rozpoznać wzór? Jeśli w zadaniu występuje długość łuku, zaczynamy od obwodu okręgu. Jeśli jest pole wycinka, zaczynamy od pola koła. Gdy widzimy zacieniowane części kilku figur, obliczamy pole większej figury minus pola figur wyciętych.
Zadania powtórzeniowe – spróbuj samodzielnie
Zadanie 1. Promień z długości łuku
Łuk wyznaczony przez kąt środkowy 150° ma długość 20π. Oblicz: a) promień okręgu, b) długość całego okręgu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Przypominamy wzór na długość łuku: ℓ = α360° · 2πr. Znamy ℓ = 20π oraz α = 150°.
Podstawiamy wartości, upraszczamy ułamek i zachowujemy r po prawej stronie równania. Działania wykonujemy po obu stronach:
Otrzymujemy r = 24. Teraz obliczamy obwód całego okręgu.
Odpowiedź: a) r = 24 jednostki, b) L = 48π jednostek.
Zadanie 2. Pole koła z obwodu
Długość okręgu wynosi 18π cm. Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzorów: L = 2πr i P = πr².
Podstawiamy długość okręgu i obliczamy promień.
Wyznaczony promień podstawiamy do wzoru na pole koła.
Odpowiedź: 81π cm².
Zadanie 3. Pole wycinka z długości łuku
Łuk o długości 12π cm i promienie długości 17 cm ograniczają wycinek koła. Oblicz jego pole. Najpierw oblicz miarę kąta środkowego.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Długość całego okręgu wynosi L = 2πr = 2π · 17 = 34π cm.
Kąt środkowy odpowiada części obwodu: α = 12π34π · 360° = 617 · 360° = 216017° ≈ 127,06°.
Pole wycinka to Pw = α360° · πr² = 617 · π · 17² = 102π cm².
Można szybciej: Pw = ℓ · r2 = 12π · 172 = 102π cm². Wyniki są zgodne.
Odpowiedź: α = 2160/17° ≈ 127,06°; pole wycinka = 102π cm².
Zadanie 4. Kąt środkowy z pola wycinka
W kole o promieniu 30 cm wycinek ma pole 180π cm². Oblicz miarę kąta środkowego, który go wyznacza.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Pole całego koła: P = πr² = π · 30² = 900π cm².
Wycinek stanowi 180π900π = 15 całego koła.
Zatem kąt środkowy wynosi α = 15 · 360° = 72°.
Odpowiedź: α = 72°.
Zadanie 5. Pole wycinka o znanym kącie
Oblicz pole wycinka koła o promieniu r = 30 i kącie środkowym α = 48°.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Pole całego koła: P = π · 30² = 900π.
Wycinek obejmuje 48°360° = 215 całego koła.
Zatem Pw = 215 · 900π = 120π jednostek kwadratowych.
Odpowiedź: 120π jednostek kwadratowych.
Zadanie 6. Wybierz poprawną odpowiedź
Na rysunku zacieniowano wycinek koła o promieniu 3 m i kącie 120°. Wybierz jego pole: A. 3π m², B. 27π m², C. 360π m², D. 3π/40 m².
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Pole całego koła: P = π · 3² = 9π m².
120° to jedna trzecia kąta pełnego, ponieważ 120°360° = 13.
Pole zacieniowanego wycinka wynosi 13 · 9π = 3π m².
Odpowiedź: Wariant A – 3π m².
Zadanie 7. Zacieniowana figura z półokręgów
Wszystkie łuki na rysunku są półokręgami. Punkty A, B, C leżą na jednej prostej, AB = BC = 2. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Średnica największego półokręgu AC = AB + BC = 2 + 2 = 4. Jego promień wynosi R = 2.
Pole największego półkola to πR²2 = π · 2²2 = 2π.
Każdy mały półokrąg ma średnicę 2, a więc promień r = 1. Pole jednego małego półkola wynosi π · 1²2 = π2.
Od pola większego półkola odejmujemy dwa mniejsze: 2π − 2 · π2 = π.
Odpowiedź: π jednostek kwadratowych.
Zadanie 8. Promień z pola wycinka i długości łuku
Pole wycinka koła wynosi 210π cm², a długość jego łuku jest równa 14π cm. Oblicz promień koła.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Gdy znamy pole wycinka i długość łuku, korzystamy ze wzoru Pw = ℓ · r2.
Podstawiamy 210π = 14π · r2 = 7πr.
Dzielimy przez 7π: r = 210π7π = 30 cm.
Dla sprawdzenia: kąt α = 14π2π · 30 · 360° = 84°. Pole wycinka = 84°360° · 900π = 210π cm².
Odpowiedź: r = 30 cm.
Zadanie 9. Pole odcinka koła
Oblicz pole mniejszego odcinka koła (obszaru między łukiem a cięciwą), gdy promień wynosi r = 2, a długość łuku wynosi π.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy kąt środkowy: α = ℓ2πr · 360° = π4π · 360° = 90°.
Pole wycinka: Pw = 90°360° · π · 2² = π.
Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę ma między promieniami kąt 90°. Jest więc prostokątny, a jego przyprostokątne mają długość 2. Pole Ptrójkąta = 2 · 22 = 2.
Odejmujemy trójkąt od wycinka: Podc = π − 2.
Odpowiedź: π − 2 jednostki kwadratowe (około 1,14).
Co warto zapamiętać przed kolejną częścią? Kąt środkowy określa, jaką część pełnego okręgu lub koła stanowi dany łuk albo wycinek. Teraz wykorzystamy tę samą miarę kąta środkowego do obliczania kątów wpisanych.
Najważniejsze wiadomości
Kąt środkowy
Jego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona są promieniami. Jeśli jest oparty na łuku AB, oznaczamy go np. α.
Kąt wpisany
Jego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy. Jeśli jest oparty na tym samym łuku AB, oznaczamy go np. β.
Najważniejsze twierdzenie
Miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Kąty wpisane na tym samym łuku
Mają taką samą miarę, nawet jeżeli ich wierzchołki leżą w różnych punktach okręgu (po tej samej stronie cięciwy).
Kąt oparty na średnicy
Każdy kąt wpisany oparty na półokręgu mierzy 90°. Taki trójkąt jest prostokątny (twierdzenie Talesa).
Czworokąt wpisany
Jeżeli wszystkie cztery wierzchołki czworokąta leżą na jednym okręgu, to suma kątów przeciwległych wynosi 180°.
Styczna i cięciwa
Kąt między styczną i cięciwą, poprowadzoną przez punkt styczności, jest równy odpowiedniemu kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie.
Cięciwy przecinające się w P
Gdy AB i CD przecinają się w P wewnątrz okręgu, zachodzi równość PA · PB = PC · PD.
Długość łuku
Kąt środkowy wyznaczamy na podstawie długości łuku ℓ i promienia r:
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy.
💡 Zawsze sprawdź, na który łuk patrzysz. Kąt wpisany opiera się na łuku naprzeciw swojego wierzchołka. Łuk może być krótszy lub dłuższy niż półokrąg.
Ćwiczenia z wyjaśnieniem
Ćwiczenie 1
Dwanaście punktów P₁, P₂, …, P₁₂ dzieli okrąg na równe łuki. Wyznacz miary kątów środkowych odpowiadających łukom: a) P₁P₂P₃, b) P₄P₇P₁₂, c) P₆P₁P₇.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Cały okrąg ma 360°. Jeden z dwunastu równych łuków odpowiada kątowi 360° : 12 = 30°.
a) Od P₁ do P₃ przez P₂ są dwa małe łuki, zatem 2 · 30° = 60°.
b) Od P₄ do P₁₂ przez P₇ jest osiem łuków, czyli 8 · 30° = 240°.
c) Od P₆ do P₇ przez P₁ jest jedenaście łuków, czyli 11 · 30° = 330°.
Odpowiedź: a) 60°; b) 240°; c) 330°.
W podpunktach b) i c) chodzi o dłuższy łuk. Kąt środkowy może być wówczas wklęsły (większy od 180°).
Ćwiczenie 2
a) Na rysunku kąt środkowy ∠AOB ma miarę 60°. Oblicz β = ∠APB. b) Gdy ∠AOB = 120°, narysuj trzy kąty wpisane oparte na tym samym łuku i podaj ich miary.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a) Korzystamy z twierdzenia β = α : 2.
β = 60° : 2 = 30°.
b) Każdy z trzech kątów wpisanych, których wierzchołki leżą na pozostałej części okręgu i które są oparte na tym samym łuku, mierzy 120° : 2 = 60°.
Odpowiedź: a) β = 30°; b) każdy z trzech kątów ma 60°.
Ćwiczenie 3
Kąt wpisany β i kąt środkowy α są oparte na tym samym łuku. Oblicz α + β, jeżeli a) α = 110°, b) α = 45°, c) β = 17°, d) β = 105°.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia mamy α = 2β, więc α + β = 3β = 32α.
a) β = 110° : 2 = 55°, więc suma = 165°.
b) β = 45° : 2 = 22,5°, więc suma = 67,5°.
c) α = 2 · 17° = 34°, więc suma = 51°.
d) α = 2 · 105° = 210°, więc suma = 315°.
Odpowiedź: a) 165°; b) 67,5°; c) 51°; d) 315°.
Ćwiczenie 4
Udowodnij, że kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy. Rozpatrz położenie środka: wewnątrz kąta, na ramieniu kąta i na zewnątrz kąta.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Przypadek I: O wewnątrz kąta wpisanego. Prowadzimy promień OP. Dzielimy β na β₁ + β₂. Ponieważ OA = OP = OB, powstałe trójkąty są równoramienne.
Kąty przy O w trójkątach równoramiennych mają miary 180° − 2β₁ oraz 180° − 2β₂. Obliczamy kąt środkowy:
Przypadek II: O leży na ramieniu. W trójkącie OPB kąty przy P i B są równe β. Kąt AOB jest kątem zewnętrznym tego trójkąta, więc α = β + β = 2β.
Przypadek III: O poza kątem wpisanym. Przedłużamy OP i rozbijamy kąty na dwie części. Stosując przypadek II do większego i mniejszego kąta, otrzymujemy α + α₁ = 2(β + β₁) oraz α₁ = 2β₁. Po odjęciu stronami: α = 2β.
Odpowiedź: We wszystkich trzech przypadkach: α = 2β.
Ćwiczenie 5
Uzasadnij: (1) kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe; (2) kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; (3) kąty przeciwległe czworokąta wpisanego sumują się do 180°.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
(1) Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe połowie tego samego kąta środkowego. Są więc równe.
(2) Półokręgowi odpowiada kąt środkowy 180°, więc kąt wpisany ma 180° : 2 = 90°.
(3) Dwa kąty przeciwległe czworokąta wpisanego opierają się na dwóch łukach, które razem dają 360°. Suma kątów wpisanych wynosi 360° : 2 = 180°.
Odpowiedź: Wszystkie trzy wnioski wynikają z zasady α = 2β.
Ćwiczenie 6a
Promień okręgu wynosi r, a cięciwa AB również ma długość r. Oblicz α = ∠OAB, β = ∠AOB i γ = ∠APB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
OA i OB są promieniami, dlatego OA = OB = r. Z danych mamy też AB = r.
Trójkąt AOB jest równoboczny, więc α = 60° i β = 60°.
Kąt γ jest wpisany na tym samym łuku co β, więc γ = β : 2 = 30°.
Odpowiedź: α = 60°, β = 60°, γ = 30°.
Ćwiczenie 6b
AB = r, a AC jest średnicą. Oblicz α = ∠BAO, β = ∠BCO i γ = ∠OBC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt AOB ma trzy boki r, zatem jest równoboczny: α = 60°, ∠AOB = 60°.
Punkty A, O i C leżą na jednej prostej, stąd ∠BOC = 180° − 60° = 120°.
W trójkącie BOC mamy OB = OC, więc β = γ = (180° − 120°) : 2 = 30°.
Odpowiedź: α = 60°, β = 30°, γ = 30°.
Ćwiczenie 6c
Cięciwy AP i PB mają długość r. Oblicz α = ∠APB, β = wklęsły kąt AOB oraz γ = ∠ACB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Każda z cięciw AP i PB razem z dwoma promieniami tworzy trójkąt równoboczny, więc odpowiada kątowi środkowemu 60°.
Łuk APB odpowiada 60° + 60° = 120°. Kąt wpisany γ leżący na dole okręgu jest równy połowie tego kąta: γ = 60°.
Kąt środkowy β jest zaznaczonym kątem wklęsłym, więc β = 360° − 120° = 240°.
Kąt α u góry jest oparty na dłuższym łuku AB: α = 240° : 2 = 120°.
Odpowiedź: α = 120°, β = 240°, γ = 60°.
Ćwiczenie 7a
AC i BD są średnicami okręgu. Wiadomo, że ∠BAC = 40°. Oblicz α = ∠ABD, β = ∠ACD i γ = ∠ACB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt wpisany ∠BAC = 40° jest oparty na łuku BC, więc łuk BC odpowiada kątowi środkowemu 2 · 40° = 80°.
AC i BD są średnicami. Kąty środkowe ∠BOC i ∠AOD są wierzchołkowe, więc także łuk AD ma miarę 80°.
Kąty α = ∠ABD i β = ∠ACD są oparte na łuku AD, dlatego α = β = 80° : 2 = 40°.
Kąt ∠BCD oparty na średnicy BD ma 90°. Jest sumą ∠BCA i ∠ACD, więc γ = ∠ACB = 90° − 40° = 50°.
Odpowiedź: α = 40°, β = 40°, γ = 50°.
Ćwiczenie 7b
Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie X. Dane są ∠ADB = 40° i ∠BXC = 80°. Oblicz α = ∠ABD, β = ∠ACB i γ = ∠ACD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt wpisany 40° opiera się na łuku AB długości kątowej 80°.
Przekątna AC przechodzi przez środek, więc jest średnicą. Łuk ABC ma 180°, stąd łuk BC = 180° − 80° = 100°.
Kąt 80° między cięciwami jest połową sumy łuków BC i AD. Zatem 80° = (100° + łuk AD) : 2, co daje łuk AD = 60°.
Kąty α i γ są oparte na łuku AD: po 60° : 2 = 30°. Kąt β oparty na łuku AB ma 40°.
Odpowiedź: α = 30°, β = 40°, γ = 30°.
Ćwiczenie 7c
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg podano ∠BAC = 35° i ∠CBD = 65°. Oblicz α = ∠BDC, β = ∠CAD i γ = ∠BCD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Wyznaczamy α. Kąty BAC i BDC są oparte na tym samym łuku BC. Dlatego α = 35°.
Wyznaczamy β. Kąty CBD i CAD są oparte na tym samym łuku CD. Dlatego β = 65°.
Kąt BAD składa się z dwóch kątów: BAC i CAD.
Wyznaczamy γ. Kąty BAD i BCD są przeciwległymi kątami czworokąta wpisanego, więc ich suma wynosi 180°.
Odpowiedź: α = 35°, β = 65°, γ = 80°.
Ćwiczenie 8
Uzasadnij twierdzenie: kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Niech AB będzie cięciwą i niech styczna w punkcie A tworzy z AB kąt φ. Prowadzimy promienie OA i OB.
Promień OA jest prostopadły do stycznej, czyli tworzy z nią kąt 90°.
Trójkąt AOB jest równoramienny. Jeśli jego kąt środkowy to α, kąt OAB = (180° − α) : 2.
Kąt między styczną a cięciwą jest połową kąta środkowego. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku także wynosi α : 2.
Odpowiedź: Kąt między styczną i cięciwą jest równy odpowiedniemu kątowi wpisanemu.
Zadania – utrwalenie i zastosowanie
Zadanie 2
Promień okręgu wynosi 6. Wyznacz miarę kąta wpisanego opartego na łuku długości: a) 2π, b) 3π, c) 15π2, d) π4.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Długość okręgu wynosi 2πr = 2π · 6 = 12π.
Kąt wpisany jest połową kąta środkowego, więc jego miara to β = (l / 12π) · 180°.
a) β = (2π / 12π) · 180° = 30°.
b) β = (3π / 12π) · 180° = 45°.
c) β = ((15π2) / 12π) · 180° = 112,5° = 112°30′.
d) β = ((π4) / 12π) · 180° = 3,75° = 3°45′.
Odpowiedź: a) 30°; b) 45°; c) 112,5°; d) 3,75°.
Zadanie 3a
Na rysunku AC i BD są średnicami. Jeżeli ∠BDC = 23°, oblicz α = ∠BAC i β = ∠AOB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt α i kąt 23° są oparte na tym samym łuku łączącym prawy punkt okręgu z punktem prawym dolnym. Zatem α = 23°.
Kąt środkowy odpowiadający temu łukowi ma 2 · 23° = 46°.
Kąt β jest przyległy do kąta 46° przy prostej przechodzącej przez środek (średnicy). Zatem β = 180° − 46° = 134°.
Odpowiedź: α = 23°, β = 134°.
Zadanie 3b
W okręgu o środku O wiadomo, że ∠ABO = 39°. Oblicz α = ∠ACB oraz β = ∠AOB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Dwa boki trójkąta AOB to promienie, więc są równe. Kąty przy podstawie mają po 39°.
β = 180° − 39° − 39° = 102°.
Kąt α jest wpisany na tym samym łuku co β, więc α = 102° : 2 = 51°.
Odpowiedź: α = 51°, β = 102°.
Zadanie 3c
W trójkącie równoramiennym AOB (OA = OB) kąt ∠OAB ma 58°. Oblicz α = ∠ACB i β = ∠AOB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Dwa boki trójkąta środkowego są promieniami. Oba kąty przy podstawie mają więc 58°.
β = 180° − 58° − 58° = 64°.
Kąt wpisany α jest oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy β: α = 64° : 2 = 32°.
Odpowiedź: α = 32°, β = 64°.
Zadanie 4
Kąt środkowy α i kąt wpisany β są oparte na tym samym łuku. Oblicz α i β, jeżeli: a) α + β = 111°, b) α = β + 56°30′, c) (12)α + (13)β = 48°.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy wspólne równanie α = 2β.
a) 2β + β = 111° → 3β = 111° → β = 37°, α = 74°.
b) 2β = β + 56°30′ → β = 56°30′, α = 113°.
c) (12)·2β + (13)β = 48° → β + β/3 = 48° → 4β/3 = 48° → β = 36°, α = 72°.
Odpowiedź: a) α = 74°, β = 37°; b) α = 113°, β = 56°30′; c) α = 72°, β = 36°.
Zadanie 5a
AD jest średnicą okręgu. Dane są ∠BOC = 70° i ∠BDA = 15°. Oblicz α = ∠AOB oraz β = ∠BDC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Z kąta wpisanego ∠BDA = 15° wnioskujemy, że kąt środkowy ∠BOA oparty na tym samym łuku BA ma dwa razy większą miarę.
α = ∠AOB = 2 · 15° = 30°.
Kąt wpisany ∠BDC jest oparty na łuku BC, na którym opiera się ∠BOC = 70°.
β = ∠BDC = 70° : 2 = 35°.
Odpowiedź: α = 30°, β = 35°.
Zadanie 5b
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg AC jest średnicą, a przekątne AC i BD przecinają się w punkcie X. Dane są ∠BDC = 30° i ∠AXB = 100°. Oblicz α = ∠BCA i β = ∠ABD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt ∠BDC = 30° jest oparty na łuku BC, więc łuk BC ma miarę 60°.
AC jest średnicą, więc łuk ABC ma 180°. Stąd łuk AB = 180° − 60° = 120°.
Kąt między przecinającymi się cięciwami ma miarę połowy sumy odpowiednich łuków: 100° = (łuk AB + łuk CD) : 2. Stąd łuk CD = 200° − 120° = 80°.
Pozostały łuk DA = 360° − (120° + 60° + 80°) = 100°.
α = ∠BCA = 120° : 2 = 60°; β = ∠ABD = 100° : 2 = 50°.
Odpowiedź: α = 60°, β = 50°.
Zadanie 5c
AD i BE są średnicami. Na okręgu leży punkt C, dla którego ∠ACB = 25°. Styczna w punkcie E przecina przedłużenie średnicy AD w punkcie P. Oblicz α = ∠EOD i β = ∠EPD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt wpisany ∠ACB = 25° opiera się na łuku AB, dlatego ∠AOB = 2 · 25° = 50°.
Ponieważ AD i BE są średnicami, kąty ∠AOB i ∠DOE są wierzchołkowe. Stąd α = ∠DOE = 50°.
Styczna EP jest prostopadła do promienia OE, dlatego trójkąt OEP jest prostokątny w E. Punkty O, D, P leżą na jednej prostej.
β = ∠EPD = 90° − 50° = 40°.
Odpowiedź: α = 50°, β = 40°.
Zadanie 6a
Styczna do okręgu w punkcie A przechodzi przez punkt T. Dane jest ∠ACB = 32°. Oblicz α = ∠TAB (kąt między styczną AT a cięciwą AB).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt α i kąt wpisany 32° są oparte na tej samej cięciwie.
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą dostajemy α = 32°.
Odpowiedź: α = 32°.
Zadanie 6b
Styczna w punkcie C tworzy z cięciwą CA kąt ostry 42°. Oblicz α = ∠ABC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt α jest kątem wpisanym opartym na tej samej cięciwie, co kąt 42° ze styczną.
Z twierdzenia otrzymujemy α = 42°.
Odpowiedź: α = 42°.
Zadanie 6c
AD jest średnicą okręgu i ∠ABC = 54°. Prosta CT jest styczną do okręgu w punkcie C. Oblicz α = ∠TCD (kąt między styczną CT a cięciwą CD).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąty wpisane ∠ABC i ∠ADC są oparte na tym samym łuku AC. Zatem ∠ADC = 54°.
AD jest średnicą, więc ∠ACD = 90°.
W trójkącie ACD: ∠CAD = 180° − 90° − 54° = 36°.
Kąt między styczną w C a cięciwą CD jest równy kątowi wpisanemu ∠CAD opartemu na tej samej cięciwie. Zatem α = 36°.
Odpowiedź: α = 36°.
Zadanie 7a
Kąt AOB w trójkącie równoramiennym AOB wynosi 96°. Oblicz kąt między cięciwą AB a styczną w A.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Równe promienie OA i OB oznaczają równe kąty przy A i B.
Kąt OAB = (180° − 96°) : 2 = 42°.
Styczna jest prostopadła do OA, więc szukany kąt = 90° − 42° = 48°.
Odpowiedź: 48°.
Zadanie 7b
Promień okręgu ma 6 cm, a łuk AB ma długość π cm. Oblicz kąt między AB a styczną w B.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Długość okręgu wynosi 2πr = 12π cm.
Łuk AB stanowi π / 12π = 112 całego okręgu.
Kąt środkowy = 360° : 12 = 30°, a kąt wpisany na tym łuku = 30° : 2 = 15°.
Kąt między styczną a cięciwą AB ma tę samą miarę.
Odpowiedź: 15°.
Zadanie 8
Udowodnij twierdzenie o przecinających się cięciwach: jeżeli AB i CD przecinają się w P, to PA · PB = PC · PD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozważamy trójkąty PAC oraz PDB.
∠APC = ∠DPB jako kąty wierzchołkowe. Ponadto ∠PAC = ∠PDB, ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku BC.
Trójkąty PAC i PDB są podobne (cecha kąt–kąt). Odpowiadają sobie boki PA i PD oraz PC i PB.
Z podobieństwa: PA / PD = PC / PB. Mnożąc na krzyż, otrzymujemy PA · PB = PC · PD.
Odpowiedź: PA · PB = PC · PD.
Zadanie 9a
Przecinające się cięciwy są podzielone na odcinki 12 i 3 oraz 4 i x. Oblicz x.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru: iloczyn odcinków pierwszej cięciwy = iloczyn odcinków drugiej.
12 · 3 = 4 · x.
36 = 4x, więc x = 36 : 4 = 9.
Odpowiedź: x = 9.
Zadanie 9b
Promień wynosi 3, odległość środka od poziomej cięciwy wynosi 1, a pionowa średnica jest do niej prostopadła. Oblicz połowę cięciwy x.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Promień okręgu ma 3, a punkt przecięcia leży o 1 poniżej środka.
Odcinki średnicy mają długości 3 + 1 = 4 oraz 3 − 1 = 2.
Średnica prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy, więc odcinki poziome mają po x.
Z twierdzenia o przecinających się cięciwach: x·x = 4·2 = 8.
x = √8 = 2√2.
Odpowiedź: x = 2√2.
Zadanie 9c
Promień okręgu to 5½; jedna cięciwa jest podzielona na odcinki 4 i 6, druga jest średnicą. Oblicz x przy prawym końcu średnicy.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Średnica ma 2·5,5 = 11.
Jej dwa odcinki od punktu przecięcia mają długości x oraz 11 − x.
Z twierdzenia: x(11 − x) = 4·6 = 24.
11x − x² = 24 → x² − 11x + 24 = 0 → (x − 3)(x − 8) = 0.
Rozwiązania to 3 i 8. Punkt przecięcia leży na prawo od środka, więc krótszy prawy odcinek to x = 3.
Odpowiedź: x = 3.
Zadanie 10
Promień okręgu wynosi 11 cm. Punkt P leży 5 cm od środka. Cięciwa przez P ma 20 cm. Na jakie odcinki dzieli ją P?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Przeprowadzamy przez P średnicę. Odcinki tej średnicy od P do okręgu mają 11 − 5 = 6 cm i 11 + 5 = 16 cm.
Iloczyn odcinków dowolnej cięciwy przez P wynosi tyle samo: 6·16 = 96.
Oznaczamy odcinki szukanej cięciwy przez x oraz 20 − x. Otrzymujemy x(20 − x) = 96.
20x − x² = 96 → x² − 20x + 96 = 0 → (x − 8)(x − 12) = 0.
Odpowiedź: 8 cm i 12 cm.
Zadanie 11a
Na średnicy AB punkt przecięcia P spełnia AP = 2, CP = 4 i PD = 3. Oblicz promień okręgu i pole trójkąta ABC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o przecinających się cięciwach: AP·PB = CP·PD, czyli 2·PB = 4·3, więc PB = 6.
Średnica AB = 2 + 6 = 8, zatem promień r = 4.
Ustawiamy średnicę na osi poziomej: A = (0,0), B = (8,0), P = (2,0). Niech C = (t,h). Ponieważ AB jest średnicą, ∠ACB = 90°, co daje h² = t(8 − t).
Z warunku CP = 4 mamy (t − 2)² + h² = 16. Po podstawieniu: (t − 2)² + t(8 − t) = 16 → 4t + 4 = 16 → t = 3.
h² = 3·5 = 15, więc wysokość h = √15. Pole ABC = (8·√15) : 2 = 4√15.
Odpowiedź: r = 4; pole △ABC = 4√15.
Zadanie 11c
AB jest średnicą; cięciwy AB i CD przecinają się w P. Dane: AP = 2, DP = 3, AD = 4, BC = 6. Oblicz promień i pole trójkąta ABC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty APD i CPB są podobne (dwa kąty mają równe). Z odpowiadających boków: AP / PC = DP / PB = AD / CB = 4 / 6 = 23.
2 / PC = 23 → PC = 3. Z kolei 3 / PB = 23 → PB = 4,5.
AB = AP + PB = 2 + 4,5 = 6,5, więc promień r = 6,5 : 2 = 3,25 = 134.
Ponieważ AB jest średnicą, ∠ACB = 90°. W trójkącie prostokątnym ABC: AC² + BC² = AB².
AC² = 6,5² − 6² = 42,25 − 36 = 6,25, więc AC = 2,5.
Pole △ABC = (AC·BC) : 2 = (2,5·6) : 2 = 7,5 = 152.
Odpowiedź: r = 134; pole △ABC = 152.
Zadanie 12
Trójkąt ABC jest równoramienny z podstawą AB i jest wpisany w okrąg. Kąt między styczną w B i bokiem BC wynosi 40°. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt między styczną w B i cięciwą BC jest równy kątowi wpisanemu ∠BAC opartemu na tym samym łuku: ∠A = 40°.
Trójkąt jest równoramienny z podstawą AB, więc kąty przy A i B są równe. ∠B = 40°.
∠C = 180° − 40° − 40° = 100°.
Odpowiedź: ∠A = 40°, ∠B = 40°, ∠C = 100°.
Zadanie 13a
AC i BD są średnicami okręgu. Jeżeli ∠BDC = 48°, wyznacz α = ∠AOB, β = ∠ABD i γ = ∠BAC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Kąt ∠BDC = 48° opiera się na łuku BC. Kąt środkowy ∠BOC ma miarę 2 · 48° = 96°.
Ponieważ AC jest średnicą, kąty ∠AOB i ∠BOC sumują się do 180°. Zatem α = 180° − 96° = 84°.
Kąt β = ∠ABD opiera się na łuku AD, który ma miarę 96°, więc β = 48°.
Kąt γ = ∠BAC opiera się na tym samym łuku BC co ∠BDC, zatem γ = 48°.
Odpowiedź: α = 84°, β = 48°, γ = 48°.
Zadanie 13b
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg dane są ∠ABC = 65°, ∠BCD = 60° oraz ∠ACB = 30°. Oblicz α = ∠ADC, β = ∠DAB i γ = ∠BDC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do 180°. Zatem α = ∠ADC = 180° − ∠ABC = 180° − 65° = 115°.
Podobnie β = ∠DAB = 180° − ∠BCD = 180° − 60° = 120°.
Kąt γ = ∠BDC jest oparty na łuku BC, podobnie jak ∠BAC. Aby obliczyć ∠BAC, korzystamy z trójkąta ABC: ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB = 180° − 65° − 30° = 85°.
Zatem γ = ∠BDC = ∠BAC = 85°.
Odpowiedź: α = 115°, β = 120°, γ = 85°.
Zadanie 13c
AD jest średnicą. Cięciwa BC przecina średnicę AD w punkcie X. Dane są ∠BAD = 24° i ∠AXB = 86°. Wyznacz α = ∠ADC, β = ∠ACB oraz γ = ∠ABC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie ABX mamy ∠BAX = ∠BAD = 24° oraz ∠AXB = 86°. Zatem γ = ∠ABC = ∠ABX = 180° − 24° − 86° = 70°.
Kąt ∠ABD oparty na średnicy AD wynosi 90°. W trójkącie ABD otrzymujemy ∠ADB = 180° − 90° − 24° = 66°.
Kąty ∠ADB i ∠ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc β = ∠ACB = 66°.
W trójkącie ABC kąt ∠BAC = 180° − β − γ = 180° − 66° − 70° = 44°.
Kąt ∠CAD = ∠BAC − ∠BAD = 44° − 24° = 20°. Kąt ∠ACD oparty na średnicy ma 90°. Stąd α = ∠ADC = 180° − 90° − 20° = 70°.
Odpowiedź: α = 70°, β = 66°, γ = 70°.