Wzajemne położenie okręgu i prostej

Na tej lekcji nauczysz się rozpoznawać sieczną i styczną, obliczać odcinki przy użyciu twierdzenia Pitagorasa, liczyć wspólne styczne dwóch okręgów oraz rozwiązywać zadania z prostymi w układzie współrzędnych. Wszystko zaczynamy od rysunku — bez zgadywania wzorów.

1. Odległość punktu od prostej

Wyobraź sobie punkt P nad prostą. Możesz połączyć go z wieloma punktami na tej prostej. Najkrótszy będzie odcinek poprowadzony prostopadle do prostej. To właśnie nazywamy odległością punktu od prostej.

Pdl90°
Zapamiętaj: odległości nie mierzymy „po skosie”. Szukamy odcinka prostopadłego do prostej.

2. Prosta i okrąg — trzy sytuacje

Oznaczmy przez r promień okręgu, a przez d odległość jego środka od prostej.

SIECZNAd < r: 2 punkty wspólneSTYCZNAd = r: 1 punkt wspólnyROZŁĄCZNAd > r: 0 punktów wspólnych
Prosty sposób: porównaj odległość d z promieniem r. Mniejsza — prosta przecina okrąg. Równa — tylko dotyka. Większa — nie dosięga okręgu.
Zadanie 1. Okrąg ma promień 7 cm. Ile punktów wspólnych ma z prostą odległą od jego środka o: a) 5 cm, b) 7 cm, c) 9 cm?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Porównujemy odległość d z promieniem r = 7 cm.
  2. a) 5 < 7, więc są 2 punkty.
  3. b) 7 = 7, więc jest 1 punkt.
  4. c) 9 > 7, więc jest 0 punktów.

3. Styczna i kąt prosty

Styczna dotyka okręgu w jednym punkcie. Promień poprowadzony do tego punktu jest prostopadły do stycznej. To daje nam trójkąt prostokątny i możliwość użycia twierdzenia Pitagorasa.

OPArAPOA
Przykład 1. Styczna dotyka okręgu o promieniu 6 cm w punkcie P. Punkt A leży na stycznej i AP = 8 cm. Oblicz AO.
  1. Promień OP jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt OPA jest prostokątny.
  2. Przeciwprostokątna to AO, zatem AO² = OP² + AP².
  3. AO² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
  4. AO = 10 cm.

Uwaga: na schemacie litery ilustrują zasadę; w obliczeniach korzystamy z długości podanych w treści.

Zadanie 2. Punkt A leży na stycznej do okręgu w punkcie P. Wiadomo, że OA = 13 cm i AP = 12 cm. Oblicz promień okręgu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOOPArAPOA = 13
  1. OP jest prostopadły do AP.
  2. Z Pitagorasa: OP² + 12² = 13².
  3. OP² = 169 − 144 = 25.
  4. r = OP = 5 cm.

4. Dwie styczne z jednego punktu

Jeżeli z punktu P poza okręgiem poprowadzimy dwie styczne, to odcinki od P do punktów styczności mają taką samą długość.

PABOPAPBPA = PB
Ważne: równe są odcinki stycznych od punktu zewnętrznego do punktów styczności, a nie całe nieskończone proste.
Przykład 2. Z punktu P poprowadzono styczne PA i PB. Wiadomo, że PA = 9 cm. Ile wynosi PB?

Obie styczne wychodzą z tego samego punktu P, więc PB = PA = 9 cm.

Zadanie 3. Okrąg ma promień 5 cm, a punkt P znajduje się 13 cm od jego środka. Z punktu P poprowadzono dwie styczne. Oblicz długość każdej z nich oraz obwód czworokąta PAOB.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOPABOPAPBOP = 13
  1. W trójkącie OAP kąt A jest prosty.
  2. PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 144, więc PA = 12 cm.
  3. PB = PA = 12 cm.
  4. Obwód PAOB = PA + AO + OB + BP = 12 + 5 + 5 + 12 = 34 cm.

5. Ile wspólnych stycznych mają dwa okręgi?

Nie musisz zapamiętywać skomplikowanego rysunku. Najpierw wyobraź sobie, czy okręgi są daleko od siebie, dotykają się, przecinają, czy jeden znajduje się w drugim.

Położenie okręgówRysunekLiczba wspólnych stycznych
Rozłączne zewnętrznie4
Styczne zewnętrznie3
Przecinające się w dwóch punktach2
Styczne wewnętrznie1
Rozłączne wewnętrznie (jeden wewnątrz drugiego)0

Jeśli odległość między środkami oznaczymy przez d, a promienie przez R ≥ r, możemy rozpoznać położenie z liczb:

WarunekPołożenieRysunek
d > R + rRozłączne zewnętrznie
d = R + rStyczne zewnętrznie
R − r < d < R + rPrzecinające się
d = R − r i d > 0Styczne wewnętrznie
0 ≤ d < R − rRozłączne wewnętrznie

Szczególny przypadek: dwa identyczne, pokrywające się okręgi mają nieskończenie wiele wspólnych stycznych.

Zadanie 4. Dwa okręgi mają promienie 4 cm i 7 cm. Określ liczbę ich wspólnych stycznych, gdy odległość środków wynosi: a) 13 cm, b) 11 cm, c) 6 cm, d) 3 cm, e) 2 cm.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOOPABdrAPAB = 2·AP

Suma promieni: 4 + 7 = 11 cm. Różnica: 7 − 4 = 3 cm.

  1. a) 13 > 11 → rozłączne zewnętrznie → 4.
  2. b) 11 = 11 → styczne zewnętrznie → 3.
  3. c) 3 < 6 < 11 → przecinające się → 2.
  4. d) 3 = 3 → styczne wewnętrznie → 1.
  5. e) 2 < 3 → rozłączne wewnętrznie → 0.

6. Prosta w układzie współrzędnych

Jak sprawdzić, ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem? Wyobraź sobie poziomą linię, którą możesz przesuwać w górę i w dół. Gdy przechodzi przez okrąg — przecina go dwa razy. Gdy tylko go dotyka — ma jeden punkt wspólny. Gdy jest za daleko — nie ma żadnego.

Przykład 3. Okrąg ma środek S(0, 2) i promień 4. Ile punktów wspólnych ma z prostą y = m?

Krok 1. Co oznacza y = m? Jest to prosta pozioma. Liczba m mówi nam, na jakiej wysokości ją narysować. Na przykład y = 2 przechodzi przez środek okręgu.

Krok 2. Zobacz trzy sytuacje. Na wszystkich rysunkach okrąg jest dokładnie ten sam — zmienia się tylko położenie niebieskiej prostej.

1. Sieczna — 2 punkty wspólneS(0,2)y=2

Prosta y = 2 przechodzi przez środek S. Jej odległość od środka wynosi 0, czyli mniej niż promień 4.

2. Styczna — 1 punkt wspólnyS(0,2)y=6

Prosta y = 6 dotyka okręgu u góry. Od środka jest oddalona o 6 − 2 = 4, czyli dokładnie o promień.

3. Rozłączna — 0 punktów wspólnychS(0,2)y=7

Prosta y = 7 leży za okręgiem. Od środka dzieli ją 7 − 2 = 5, czyli więcej niż promień 4.

Krok 3. Jak policzyć odległość dla dowolnego m? Środek okręgu jest na wysokości 2, a prosta na wysokości m. Odległość to d = |m − 2|. Wartość bezwzględna oznacza, że odległość jest zawsze nieujemna — niezależnie od tego, czy prosta leży nad środkiem, czy pod nim.

Krok 4. Porównujemy odległość z promieniem 4.

PorównanieCo to znaczy?Wynik
|m − 2| < 4Prosta przechodzi przez okrąg2 punkty, gdy −2 < m < 6
|m − 2| = 4Prosta tylko dotyka okręgu1 punkt, gdy m = −2 lub m = 6
|m − 2| > 4Prosta jest poza okręgiem0 punktów, gdy m < −2 lub m > 6

Dlaczego granice to −2 i 6? Środek jest na wysokości 2, a promień ma długość 4. Najniższy punkt okręgu ma więc wysokość 2 − 4 = −2, a najwyższy 2 + 4 = 6.

Zapamiętaj: dla prostej poziomej y = m porównujemy m ze współrzędną y środka okręgu. Dla prostej pionowej x = m robimy to samo, ale ze współrzędną x środka.
Zadanie 5. Okrąg ma środek S(3, −1) i promień 2. Podaj wartości m, dla których prosta x = m ma 0, 1 lub 2 punkty wspólne z okręgiem.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOS(3,−1)x = mr = 2
  1. Prosta jest pionowa, więc porównujemy m ze współrzędną x środka: 3.
  2. Styczne są w x = 3 − 2 = 1 i x = 3 + 2 = 5.
  3. 1 punkt: m = 1 lub m = 5.
  4. 2 punkty: 1 < m < 5.
  5. 0 punktów: m < 1 lub m > 5.

7. Długość cięciwy — Pitagoras w praktyce

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu. Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu do cięciwy dzieli ją na dwie równe części.

OPABdr

Jak obliczyć długość cięciwy? Nie trzeba uczyć się nowego wzoru. Wystarczy narysować promień i odcinek prostopadły ze środka okręgu do cięciwy. Otrzymamy trójkąt prostokątny, więc możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa.

Ważne: prostopadła poprowadzona ze środka okręgu do cięciwy dzieli tę cięciwę na dwie równe części. Najpierw obliczamy jedną połowę, a następnie mnożymy wynik przez 2.
Przykład 4. Okrąg ma promień 5 cm, a odległość środka okręgu od cięciwy wynosi 3 cm. Oblicz długość cięciwy.
  1. Na rysunku widzimy trójkąt prostokątny OPA. Promień OA = 5 cm to przeciwprostokątna, a odległość OP = 3 cm to jedna z przyprostokątnych. Szukamy AP.
  2. Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa: OP² + AP² = OA², czyli 3² + AP² = 5².
  3. Liczymy po kolei: 9 + AP² = 25, zatem AP² = 16 i AP = 4 cm.
  4. AP to tylko połowa cięciwy! Ponieważ AP = PB, cała cięciwa ma długość AB = 4 + 4 = 8 cm.

Odpowiedź: Długość cięciwy wynosi 8 cm.

Zadanie 6. Prosta y = −3 przecina okrąg o środku S(2, 0) i promieniu 4. Oblicz długość cięciwy.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOOPABdrAPAB = 2·AP
  1. Odległość środka S(2,0) od prostej y = −3 to d = |0 − (−3)| = 3.
  2. Z twierdzenia Pitagorasa: 3² + AP² = 4², czyli AP² = 16 − 9 = 7, więc AP = √7.
  3. Cała cięciwa ma długość 2√7.
Zadanie 7. Cięciwa o długości 6 jest wyznaczona przez prostą x = 1 i okrąg o środku S(−3, 2). Oblicz promień okręgu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuOOPABdrAPAB = 2·AP
  1. Odległość środka od prostej pionowej: d = |−3 − 1| = 4.
  2. Połowa cięciwy ma długość 6 : 2 = 3.
  3. Z twierdzenia Pitagorasa: r² = 4² + 3² = 25.
  4. r = 5.

8. Trening przed sprawdzianem

Najpierw spróbuj rozwiązać samodzielnie. Dopiero potem rozwiń podpowiedź i pełne rozwiązanie.

Zadanie 8. Prosta jest styczna do okręgu o promieniu 9 cm. Punkt A leży na tej prostej 12 cm od punktu styczności P. Oblicz odległość A od środka O.
RozwiązanieOOPArAPOA = ?

OP ⟂ AP, więc AO² = 9² + 12² = 225. AO = 15 cm.

Zadanie 9. Dwa okręgi mają promienie 3 i 8, a odległość ich środków wynosi 5. Ile mają wspólnych stycznych?
RozwiązanieO₁O₂r = 8r = 3

8 − 3 = 5, czyli okręgi są styczne wewnętrznie. Mają 1 wspólną styczną.

Zadanie 10. Okrąg ma środek S(−2, 4) i promień 3. Dla jakich wartości m prosta y = m przecina okrąg w dwóch punktach?
RozwiązanieOS(−2,4)y = mdr = 3

Prosta jest pozioma. Odległość od środka wynosi |m − 4|. Potrzebujemy |m − 4| < 3, więc −3 < m − 4 < 3. Dodajemy 4: 1 < m < 7.

Zadanie 11. Cięciwa ma długość 16 cm, a promień okręgu 10 cm. Oblicz odległość środka od cięciwy.
RozwiązanieOOPABdrAPAB = 2·AP

Połowa cięciwy to 8 cm. Z Pitagorasa: d² + 8² = 10², zatem d² = 36, czyli d = 6 cm.

Zadanie 12 (dla chętnych). Z punktu P oddalonego o 17 cm od środka okręgu poprowadzono dwie styczne. Obwód czworokąta PAOB wynosi 46 cm. Oblicz promień okręgu.
Rozwiązanie krok po krokuOPABOPAPBOP = 17
  1. Oznacz promień przez r, a długość każdej stycznej przez t.
  2. Obwód: 2r + 2t = 46, czyli r + t = 23.
  3. W trójkącie prostokątnym: r² + t² = 17² = 289.
  4. Z (r + t)² = r² + t² + 2rt mamy 529 = 289 + 2rt, więc rt = 120.
  5. Liczby r i t mają sumę 23 i iloczyn 120, więc są to 8 i 15.
  6. Możliwe promienie: 8 cm lub 15 cm. W obu przypadkach długość stycznej to druga z tych liczb.

9. Najważniejsze rzeczy do zapamiętania

Gdy widzisz w zadaniu…Pomyśl o…
Prosta i okrągPorównaniu d z r
Styczna i promieńKącie prostym 90°
Dwie styczne z punktu PRówności PA = PB
Dwa okręgiSumie i różnicy promieni
Prosta x = m lub y = mOdległości od odpowiedniej współrzędnej środka
Cięciwa i promieńPołowie cięciwy i twierdzeniu Pitagorasa
Rada korepetytora: zanim zaczniesz liczyć, zaznacz na rysunku środek okręgu, promień i kąt prosty. W większości zadań to już połowa sukcesu.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną