Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby, które są dodatnie i całkowite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….

• Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem ℕ.

Przykład:

• Liczby naturalne większe od 3 i mniejsze od 7 to: 4, 5, 6.

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności pomagają nam szybko sprawdzić, czy liczba dzieli się przez inną liczbę bez wykonywania dzielenia.

• • Podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8.
    Przykład: 24 jest podzielne przez 2, bo kończy się na 4.
  • Podzielność przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
    Przykład: 123 jest podzielne przez 3, bo 1 + 2 + 3 = 6, a 6 dzieli się przez
  • Podzielność przez 4: Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.
  • Podzielność przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
    Przykład: 50 jest podzielne przez 5, bo kończy się na 0.
  • Podzielność przez 6: Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3.Przykład: 24 jest podzielne przez 6, bo jest podzielne przez 2 (kończy się na 4) i przez 3 (2 + 4 = 6, a 6 dzieli się przez 3).
  • Podzielność przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

    Przykład: 126 jest podzielne przez 9, bo 1 + 2 + 6 = 9, a 9 dzieli się przez 9.

  • Podzielność przez 10: Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.

    Przykład: 100 jest podzielne przez 10, bo kończy się na 0. 

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz ich ujemne odpowiedniki i zero: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

• Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem ℤ.

Przykład:

• Liczby całkowite większe od -3 i mniejsze od 2 to: -2, -1, 0, 1.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego abba, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b ≠ 0.

• Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem ℚ.
• Liczby wymierne obejmują zarówno ułamki skończone, jak i ułamki okresowe.

Przykłady:

• 1221 = 0,5 (ułamek skończony).
• 1331 = 0,333… (ułamek okresowy).

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, których nie da się zapisać jako ułamek zwykły. Mają one nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

• Przykłady liczb niewymiernych: √2, π, e.

Przykład:

• √2 ≈ 1,41421356… – to rozwinięcie nigdy się nie kończy i nie ma okresu.

Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które możemy znaleźć na osi liczbowej. Obejmują one zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne.

• Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem ℝ.

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które mają dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie.

• Liczby pierwsze są jak “cegiełki” w matematyce, ponieważ każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych (tzw. rozkład na czynniki pierwsze).
• Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2 (to jedyna parzysta liczba pierwsza).

Przykłady liczb pierwszych:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Liczby złożone

Liczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki.

• Innymi słowy, liczby złożone można rozłożyć na iloczyn mniejszych liczb naturalnych (np. 4 = 2 × 2).
• Każda liczba złożona ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy.

Przykłady liczb złożonych:

• 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …

Ciekawostka:
Liczba 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Praca domowa:

1. Wypisz wszystkie liczby całkowite większe od -4 i mniejsze od 3.

2. Sprawdź, czy liczba 246 jest podzielna przez 6.

3. Które z poniższych liczb są niewymierne?

a) 0,125
b) π
c) 2552

4. Wypisz wszystkie liczby pierwsze większe od 10 i mniejsze od 20.Wypisz wszystkie liczby złożone większe od 15 i mniejsze od 25.

5. Sprawdź, czy liczba 29 jest liczbą pierwszą.

6. Rozłóż liczbę 36 na czynniki pierwsze.