1. Co to jest rozwinięcie dziesiętne?

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego, czyli jako ciąg cyfr przed i po przecinku.

• Przykład:

  • 3,25

  • 0,333…

  • 1,41421356…

2. Rodzaje rozwinięć dziesiętnych

Liczby rzeczywiste mogą mieć:

a) Rozwinięcie skończone – po przecinku jest skończona liczba cyfr.

• Przykłady:

  • 0,5 (bo to 1/2)

  • 2,75 (bo to 11/4​)

b) Rozwinięcie nieskończone okresowe – po przecinku jest nieskończona liczba cyfr, ale powtarza się pewien okres (cykliczny fragment).

• Przykłady:

  • 0,333… = 0,(3) (okres to 3)

  • 0,142857142857… = 0,(142857) (okres to 142857)

c) Rozwinięcie nieskończone nieokresowe – po przecinku jest nieskończona liczba cyfr bez powtarzającego się okresu. Takie liczby to liczby niewymierne.

• Przykłady:

  • √2 ≈ 1,41421356…

  • π ≈ 3,14159265…

3. Jak odróżnić liczby wymierne od niewymiernych?

• Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.

• Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe.

Przykład:

• 0,75 – wymierna (skończone)

• 0,121212… – wymierna (okresowe)

• √3 ≈ 1,7320508… – niewymierna (nieokresowe)

Przykłady zadań

1. Określ, jakie rozwinięcie dziesiętne mają poniższe liczby (skończone, nieskończone okresowe czy nieokresowe):
   a) 0,125
   b) 0,1010010001…
   c) 0,(6)

   Odpowiedź:
   a) skończone, b) nieokresowe, c) nieskończone okresowe

2. Które z poniższych liczb są wymierne, a które niewymierne?
   a) 0,5
   b) √5
   c) 0,(12)

   Odpowiedź:
   a) wymierna, b) niewymierna, c) wymierna

Praca domowa

1. Zapisz ułamek 3/8​ w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Określ, czy jest ono skończone, czy nieskończone.

2. Wypisz trzy przykłady liczb z rozwinięciem nieskończonym okresowym.

3. Dlaczego liczba π jest niewymierna? Uzasadnij odpowiedź.

4. Zamień ułamek okresowy 0,(9) na ułamek zwykły (podpowiedź: $=1$).